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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 7.Problemas propostos - Ex. 24

Achar a distância entre r_1 e r_2 nos casos:

r_1 : x = 3 y = 2

r_2 : x = 1 y = 4

Passo 1

Antes de qualquer coisa, temos que ver se nossas retas são concorrentes, paralelas ou reversas :O

Primeiro vamos encontrar suas equações vetoriais e facilitar nossa vida hehe

Para r_1 , temos

(x , y , z) = ( 3 , 2 , z )

(x , y , z) = (3 , 2 , 0) + ( 0 , 0 , z )

Transformando z em parâmetro t :

r_1 : X = (3 , 2 , 0) + t . ( 0 , 0 , 1 )

Agora, para r_2 , temos que

(x , y , z) = ( 1 , 4 , z )

(x , y , z) = (1 , 4 , 0) + ( 0 , 0 , z )

Trocando z por um parâmetro t :

r_2 : X = (1 , 4 , 0) + t . ( 0 , 0 , 1 )

O vetor diretor de r_1 é vec u = ( 0 , 0 , 1 ) e o de r_2 é vec v = ( 0 , 0 , 1 )

Além disso, um ponto de r_1 , pela sua equação, é A = ( 3 , 2 , 0 ) e um ponto de r_2 é B = ( 1 , 4 , 0 ) .

Belezinha, agora vamos analisar a posição relativa das nossas retas :)

Passo 2

Cara, repara uma coisa, o vetor diretor das duas retas é o mesmo: ( 0 , 0 , 1 ) !!

Isso quer dizer que as nossas retas são paralelas, certo??

Agora temos que verificar se elas são paralelas distintas ou paralelas coincidentes, pra isso, vamos substituir o ponto A de r_1 na equação de r_2 pra vermos se ele pertence a ela.

Temos que a equação de r_2 é

X = (1 , 4 , 0) + t . ( 0 , 0 , 1 )

Substituindo o ponto A = ( 3 , 2 , 0 ) :

( 3 , 2 , 0 ) = (1 , 4 , 0) + t . ( 0 , 0 , 1 )

( 3 , 2 , 0 ) = (1 , 4 , 0) + ( 0 , 0 , t )

( 3 , 2 , 0 ) = (1 , 4 , t)

Opa, a igualdade acima não é verdadeira né? Afinal, não tem como 3 = 1 e 2 = 4 , logo, as retas não são coincidentes.

Então temos retas paralelas distintas!! Bora lá calcular a distância entre elas!!

Passo 3

Pra calcular a distância entre duas retas paralelas, primeiro vamos pegar um ponto qualquer de r_1 :

A = ( 3 , 2 , 0 )

Agora vamos encontrar um ponto genérico de r_2 a partir de sua equação:

X = (1 , 4 , 0) + t . ( 0 , 0 , 1 )

Temos, daí, que um ponto genérico é P = ( 1 , 4 , t )

Aí temos o vetor

vec A P = P - A = ( - 2 , 2 , t )

Passo 4

Bom, queremos calcular a distância entre A e P tal que vec A P seja perpendicular às retas, pois assim estaremos calculando a menor distância entre as duas retas.

Então, vec A P deve ser perpendicular ao vetor diretor ( 0 , 0 , 1 ) das retas, ou seja, o produto escalar entre esses dois vetores deve ser 0:

vec A P . (0 , 0 , 1) = 0

(- 2 , 2 , t) . (0 , 0 , 1) = 0

- 2.0 + 2.0 + t = 0

t = 0

Então, para que vec A P seja perpendicular as retas, temos que ter t = 0 .

Substituindo esse valor de t em P :

P = ( 1 , 4 , t )

P = (1 , 4 , 0)

Coincidentemente encontramos o mesmo ponto que já está na equação de r_2 hehe e é esse ponto que vai estar à menor distância possível de A e então vamos calcular a distância entre eles :)

Passo 5

Temos A = ( 3 , 2 , 0 ) e P = ( 1 , 4 , 0 ) , vamos calcular a distância entre eles pela fórmula de distância entre pontos:

d (r_1 , r_2) = d (A , P) = sqrt((3 - 1)^2 + (2 - 4)^2 + (0 - 0)^2)

d (r_1 , r_2) = d (A , P) = sqrt((2)^2 + (- 2)^2)

d (r_1 , r_2) = d (A , P) = sqrt(4 + 4)

d (r_1 , r_2) = d (A , P) = sqrt(8)

Resposta

sqrt(8)

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