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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 7.Problemas propostos - Ex. 22

Achar a distância entre r_1 e r_2 nos casos:

r_1 : y = 2 x z = 3

r_2 : (x , y , z) = (2 , - 1 , 2) + t . ( 1 , - 1 , 3 )

Passo 1

Antes de qualquer coisa, temos que ver se nossas retas são concorrentes, paralelas ou reversas :O

Primeiro vamos encontrar suas equações vetoriais e facilitar nossa vida hehe

Para r_1 , temos

(x , y , z) = ( x , 2 x , 3 )

(x , y , z) = (0 , 0 , 3) + ( x , 2 x , 0 )

Transformando x em parâmetro t :

r_1 : X = (0 , 0 , 3) + t . ( 1 , 2 , 0 )

Agora, para r_2 , já temos que

r_2 : X = (2 , - 1 , 2) + t . ( 1 , - 1 , 3 )

O vetor diretor de r_1 é vec u = ( 1 , 2 , 0 ) e o de r_2 é vec v = ( 1 , - 1 , 3 )

Além disso, um ponto de r_1 , pela sua equação, é A = ( 0 , 0 , 3 ) e um ponto de r_2 é B = ( 2 , - 1 , 2 ) .

Então já podemos colocar em jogo o vetor vec A B = B - A = ( 2 , - 1 , - 1 )

Belezinha, agora vamos analisar a posição relativa das nossas retas :)

Passo 2

Primeiro vamos ver se as retas são paralelas verificando se seus vetores diretores são múltiplos:

(1 , 2 , 0) = alpha . ( 1 , - 1 , 3 )

(1 , 2 , 0) = ( alpha , - alpha , 3 alpha )

Igualando as coordenadas, não existe alpha que satisfaça a igualdade acima, então as retas já não são paralelas!!

Agora vamos calcular o determinante com linhas ( vec u , vec v , vec A B ) , se ele for 0 , nossas retas são concorrentes, se for diferente de 0 , elas são reversas. Lembrando que vec A B = (2 , - 1 , - 1) , vec u = ( 1 , 2 , 0 ) e vec v = ( 1 , - 1 , 3 ) , temos:

|[[1,2,0],[1,-,1,3],[2,-,1,-,1]]| = 18

Como nosso determinante deu diferente de 0 , as retas são reversas, agora sim vamos calcular a distância entre elas :)

Passo 3

Vamos lá pra parte de encontrar a distância entre duas retas reversas (não desanima não, vai ser facinho :P)

Vamos lembrar que:

O vetor diretor de r_1 é vec u = ( 1 , 2 , 0 ) e o de r_2 é vec v = ( 1 , - 1 , 3 )

Um ponto de r_1 , pela sua equação, é A = ( 0 , 0 , 3 ) e um ponto de r_2 é B = ( 2 , - 1 , 2 ) .

Então vec A B = B - A = ( 2 , - 1 , - 1 )

Vimos que a distância entre duas retas reversas é a altura do paralelepípedo formado por vec u , vec v , vec A B , ou seja:

d (r_1 , r_2) = (| ( vec u , vec v , vec A B ) |)/(| vec u xx vec v |)

Então vamos fazer essa continha beleza?

Lá no passo 2, vimos que (vec u , vec v , vec A B) = 18 , então:

d (r_1 , r_2) = (| 18 |)/(| ( 1 , 2 , 0 ) xx ( 1 , - 1 , 3 ) |)

d (r_1 , r_2) = (1 8)/(| ( 6 , - 3 , - 3 ) |)

d (r_1 , r_2) = (1 8)/(sqrt(6^2 + (- 3)^2 + ( - 3 ) ²))

d (r_1 , r_2) = (1 8)/(sqrt(54))

Fatorando sqrt(54) , temos sqrt(54) = 3 sqrt(6)

d (r_1 , r_2) = (18)/(3 sqrt(6))

d (r_1 , r_2) = (6)/(sqrt(6))

Racionalizando:

d (r_1 , r_2) = (6 sqrt(6))/(6)

d (r_1 , r_2) = sqrt(6)

Resposta

sqrt(6)

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Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )
Obtenha uma equação vetorial da reta que dista 2 6 de s : X = - 1 ,2 ,3 + λ ( - 1 ,1 ,1 ) , é concorrente r : X = 1 ,1 ,3 + λ 0 ,1 ,1 e está contida em π : x - z + 1 = 0 .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,3 ,- 1π : x + z = 2s : x - z = y + 2 = z - x + 4 d = 3
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2