Achar a distância entre r_1 e r_2 nos casos:

r_1 : y = 2 x z = 3

r_2 : (x , y , z) = (2 , - 1 , 2) + t . ( 1 , - 1 , 3 )

Passo 1

Antes de qualquer coisa, temos que ver se nossas retas são concorrentes, paralelas ou reversas :O

Primeiro vamos encontrar suas equações vetoriais e facilitar nossa vida hehe

Para r_1 , temos

(x , y , z) = ( x , 2 x , 3 )

(x , y , z) = (0 , 0 , 3) + ( x , 2 x , 0 )

Transformando x em parâmetro t :

r_1 : X = (0 , 0 , 3) + t . ( 1 , 2 , 0 )

Agora, para r_2 , já temos que

r_2 : X = (2 , - 1 , 2) + t . ( 1 , - 1 , 3 )

O vetor diretor de r_1 é vec u = ( 1 , 2 , 0 ) e o de r_2 é vec v = ( 1 , - 1 , 3 )

Além disso, um ponto de r_1 , pela sua equação, é A = ( 0 , 0 , 3 ) e um ponto de r_2 é B = ( 2 , - 1 , 2 ) .

Então já podemos colocar em jogo o vetor vec A B = B - A = ( 2 , - 1 , - 1 )

Belezinha, agora vamos analisar a posição relativa das nossas retas :)

Passo 2

Primeiro vamos ver se as retas são paralelas verificando se seus vetores diretores são múltiplos:

(1 , 2 , 0) = alpha . ( 1 , - 1 , 3 )

(1 , 2 , 0) = ( alpha , - alpha , 3 alpha )

Igualando as coordenadas, não existe alpha que satisfaça a igualdade acima, então as retas já não são paralelas!!

Agora vamos calcular o determinante com linhas ( vec u , vec v , vec A B ) , se ele for 0 , nossas retas são concorrentes, se for diferente de 0 , elas são reversas. Lembrando que vec A B = (2 , - 1 , - 1) , vec u = ( 1 , 2 , 0 ) e vec v = ( 1 , - 1 , 3 ) , temos:

|[[1,2,0],[1,-,1,3],[2,-,1,-,1]]| = 18

Como nosso determinante deu diferente de 0 , as retas são reversas, agora sim vamos calcular a distância entre elas :)

Passo 3

Vamos lá pra parte de encontrar a distância entre duas retas reversas (não desanima não, vai ser facinho :P)

Vamos lembrar que:

O vetor diretor de r_1 é vec u = ( 1 , 2 , 0 ) e o de r_2 é vec v = ( 1 , - 1 , 3 )

Um ponto de r_1 , pela sua equação, é A = ( 0 , 0 , 3 ) e um ponto de r_2 é B = ( 2 , - 1 , 2 ) .

Então vec A B = B - A = ( 2 , - 1 , - 1 )

Vimos que a distância entre duas retas reversas é a altura do paralelepípedo formado por vec u , vec v , vec A B , ou seja:

d (r_1 , r_2) = (| ( vec u , vec v , vec A B ) |)/(| vec u xx vec v |)

Então vamos fazer essa continha beleza?

Lá no passo 2, vimos que (vec u , vec v , vec A B) = 18 , então:

d (r_1 , r_2) = (| 18 |)/(| ( 1 , 2 , 0 ) xx ( 1 , - 1 , 3 ) |)

d (r_1 , r_2) = (1 8)/(| ( 6 , - 3 , - 3 ) |)

d (r_1 , r_2) = (1 8)/(sqrt(6^2 + (- 3)^2 + ( - 3 ) ²))

d (r_1 , r_2) = (1 8)/(sqrt(54))

Fatorando sqrt(54) , temos sqrt(54) = 3 sqrt(6)

d (r_1 , r_2) = (18)/(3 sqrt(6))

d (r_1 , r_2) = (6)/(sqrt(6))

Racionalizando:

d (r_1 , r_2) = (6 sqrt(6))/(6)

d (r_1 , r_2) = sqrt(6)

Resposta

sqrt(6)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados