Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 7.Problemas propostos - Ex. 25

Achar a distância entre e nos casos:

Passo 1

Antes de qualquer coisa, temos que ver se nossas retas são concorrentes, paralelas ou reversas :O

Primeiro vamos encontrar suas equações vetoriais e facilitar nossa vida hehe

Para , temos

Transformando em parâmetro :

Agora, para , sabemos que essa reta é o eixo , então com certeza ela passa pela origem e seu vetor diretor é

O vetor diretor de é e o de é

Além disso, um ponto de , pela sua equação, é e um ponto de é .

Belezinha, agora vamos analisar a posição relativa das nossas retas :)

Passo 2

Cara, repara uma coisa, o vetor diretor das duas retas é o mesmo: !!

Isso quer dizer que as nossas retas são paralelas, certo??

Agora temos que verificar se elas são paralelas distintas ou paralelas coincidentes, pra isso, vamos substituir o ponto de na equação de pra vermos se ele pertence a ela.

Temos que a equação de é

Substituindo o ponto :

Opa, a igualdade acima não é verdadeira né? Afinal, não tem como e , logo, as retas não são coincidentes.

Então temos retas paralelas distintas!! Bora lá calcular a distância entre elas!!

Passo 3

Pra calcular a distância entre duas retas paralelas, primeiro vamos pegar um ponto qualquer de :

Agora vamos encontrar um ponto genérico de a partir de sua equação:

Temos, daí, que um ponto genérico é

Aí temos o vetor

Passo 4

Bom, queremos calcular a distância entre e tal que seja perpendicular às retas, pois assim estaremos calculando a menor distância entre as duas retas.

Então, deve ser perpendicular ao vetor diretor das retas, ou seja, o produto escalar entre esses dois vetores deve ser 0:

Então, para que seja perpendicular as retas, temos que ter .

Substituindo esse valor de em :

Coincidentemente encontramos o mesmo ponto que já está na equação de hehe e é esse ponto que vai estar à menor distância possível de e então vamos calcular a distância entre eles :)