Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 41b

Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .

(b) A = 1 ,   2 ,   0                           π : x + y + z = 1                           s : X = 0 ,   3 ,   2 + λ ( 1 ,   1 ,   0 )             d = 2

Passo 1

Queremos determinar a reta r que contém o ponto A = ( 1 ,   2 ,   0 ) , é paralela ao plano π : x + + y + z = 2 e dista d = 3 da reta s : X = 0 ,   3 ,   2 + λ ( 1 ,   1 ,   0 ) , certo?

Então, vamos lá!

Passo 2

Seja r → = ( m ,   n ,   p ) o vetor diretor da reta r .

Momento “bizu aí”.

Como a reta r é paralela ao plano π , o produto escalar do vetor diretor desta reta pelo vetor normal ao plano n → π é nulo. Logo:

n → . r → = 0

1 ,   1 ,   1   . m ,   n ,   p = 0

m + n + p = 0

Passo 3

Devemos analisar se a reta que queremos determinar é paralela à reta s dada. Para isso, vamos primeiro supor que elas NÃO são paralelas. Se essa condição for verdadeira não precisaremos testar o paralelismo. Logo, nesta condição r → ∧ s → ≠ 0 e usando a fórmula 20-10 com A = 1 ,   2 ,   0 ∈ r ,   B = ( 0 ,   3 ,   2 ) ∈ s , e os vetores r → = ( m ,   n ,   p ) paralelo à reta que queremos determinar e s → = ( 1 ,   1 ,   0 ) , paralelo a s :

d ( r , s ) = A B → . r → ∧ s → r → ∧ s →

= B - A . m ,   n ,   p ∧ ( 1 ,   1 ,   0 ) | ( m ,   n ,   p ) ∧ ( 1 ,   1 ,   0 ) |

= - 1 ,   1 ,   2 . - p ,   p . m - n   | | ( - p ,   p . m - n | |  

2 p + 2 m - 2 n 2 p 2 + m - n 2

Passo 4

A equação cima nos fornece:

- p 2 - 4 m p = 0 ⇒ p = 0 p = - 4 m

Se considerarmos p = 0 , temos:

m + n + p = 0 ⇒ m = - n

Com essas informações, um vetor diretor da reta é:

r → = m ,   n ,   p = 1 ,   - 1 ,   0

Logo, uma equação da reta é:

r : X = 1 ,   2 ,   0 + λ ( 1 ,   - 1 ,   0 )

Passo 5

Agora, para matarmos de vez essa questão, devemos olhar para o caso em que p = - 4 m . Obedecendo essa condição, a primeira equação nos dá:

m + n + p = 0 ⇒ n = 3 m

Com essas informações, um vetor diretor da reta é:

r → = m ,   n ,   p = 1 ,   3 ,   - 4

Logo, uma equação da reta é:

r : X = 1 ,   2 ,   0 + λ ( 1 ,   3 ,   - 4 )

Resposta

Duas soluções: r : X = 1 ,   2 ,   0 + λ ( 1 ,   - 1 ,   0 )

r : X = 1 ,   2 ,   0 + λ ( 1 ,   3 ,   - 4 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

6.1.3. Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos que equidistante das retas:r: (x, y, z) = (0,-1,0) + t (1,0,0) e s: (x, y, z) = (0,1,0) = t (0,0,1). Que lugar Geométrico é esse?
Qual é a distância entre as retas paralelas x-3y=4 e 2x-6y=1?
Mostre que a distância entre duas retas não paralelas r 1 : x , y , z = x 1 + t a 1 , y 1 + t b 1 , z 1 + t c 1er 2 : x , y , z = x 2 + t a 2 , y 2 + t b 2 , z 2 + t c 2 é d e t x 2 - x 1 y 2 - y 1 z
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Os vértices do triângulo ABC são A = 2,1 ,B = 1,4eC = 5,5 . Qual o comprimento da altura baixada de A sobre a base BC?