Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .

r : X = 0 ,0 ,3 + λ ( 0 ,1 ,0 )

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 42

Obtenha uma equação vetorial da reta que contém , está contida em e dista de .

Passo 1

Queremos obter uma equação vetorial da reta , que contém o ponto , está contida no plano e dista 3 de , certo?

Então, vamos lá!

Passo 2

Para termos a equação vetorial de , precisamos de um ponto que pertença a essa reta, bem como do vetor diretor dela. O ponto pode ser o , que como dito no enunciado está contido em . Para determinar o vetor diretor , podemos usar, primeiramente, o fato que de modo que , sendo o vetor ortonormal de .

Passo 3

Sabemos que a distância entre as retas e é 3. Podemos então utilizar a fórmula para o cálculo da distância entre retas. Se resultar num absurdo, saberemos que é paralela a , compartilhando do mesmo vetor diretor .

Passo 4

Vamos analisar o resultado do Passo 3...

O passo 3 acabou por resultar num absurdo, pois se , e sabendo que então , o que leva a e, na fórmula de distância entre retas, , o que é nitidamente IMPOSSÍVEL. Desse modo, podemos afirmar que e são paralelas, com o mesmo vetor diretor .