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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 41a

Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .

(b) A = 1 ,   3 ,   - 1                           π : x + z = 2                           s : x - z = y + 2 = z - x + 4                 d = 3

Passo 1

Queremos determinar a reta r que contém o ponto A = ( 1 ,   3 ,   - 1 ) , é paralela ao plano π : x + z = 2 e dista d = 3 da reta s : x - z = y + 2 = z - x + 4 , certo?

Então, vamos lá!

Passo 2

Seja r → = ( x ,   y ,   z ) o vetor diretor da reta r .

Momento “bizu aí”.

Como a reta r é paralela ao plano π , a normal de π é perpendicular ao vetor r → . Logo, o produto escalar entre r → e a normal n → de π é igual a zero! Demonstrando, temos:

n → . r → = 0

1 ,   0 ,   1 . x ,   y ,   z = 0

x + z = 0

x = - z

Passo 3

Agora, para facilitar os cálculos, podemos colocar a reta s em sua forma vetorial:

x - z - = y + 2           x - z = z - x + 4

x - z = z - x + 4

2 x - 2 z = 4

x = 2 + z

x - z = y + 2

2 + z - z = y + 2

y = 0

x ,   y ,   z = 2 + z ,   0 ,   z

x ,   y ,   z = 2 ,   0 ,   0 = + z 1 ,   0 ,   1

Portanto, a reta pode ser escrita como s : X = 2 ,   0 ,   0 + λ ( 1 ,   0 ,   1 ) .

Passo 4

Por enquanto, a reta r pode ser escrita como r : X = 1 ,   3 ,   1 + λ ( - 1 ,   y ,   1 ) , pois o ponto A pertence à reta r e sabemos que x = - z . Agora, usaremos o fato de que a distância entre r e s vale 3. Então, sendo B = ( 2 ,   0 ,   0 ) e s → = ( 1 ,   0 ,   1 ) , temos:

d ( r , s ) = A B → . r → ∧ s → r → ∧ s →

1 ,   - 3 ,   1 . - 1 ,   y ,   1 ∧ ( 1 ,   0 ,   1 ) | ( - 1 ,   y ,   1 ) ∧ ( 1 ,   0 ,   1 ) | = 3

1 ,   - 3 ,   1 . y ,   2 ,   - y y 2 + 4 + y 2 = 3

y - 6 - y = 3 2 y 2 + 4

6 = 3 2 y 2 + 4

4 = 2 y 2 + 4

y = 0

Logo, a reta r pode ser escrita como r : X = 1 ,   3 ,   1 + λ ( - 1 ,   y ,   1 ) .

Resposta

r : X = 1 ,   3 ,   1 + λ ( - 1 ,   y ,   1 )

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