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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 43

Obtenha uma equação vetorial da reta que dista 2 6 de s : X = - 1 ,   2 ,   3 + λ ( - 1 ,   1 ,   1 ) , é concorrente r : X = 1 ,   1 ,   3 + λ 0 ,   1 ,   1 e está contida em π : x - z + 1 = 0 .

Passo 1

Queremos obter uma equação vetorial da reta, certo?

Então, vamos lá!

Passo 2

A primeira informação que temos sobre a reta que queremos determinar é a distância dela à reta s . Então, vamos dar nome aos bois... t : X = a ,   b ,   c + α ( d ,   e ,   f ) .

d t , s = 2 6 = A B → . t → ∧ s → t → ∧ s →

= - 1 - a ,   2 - b ,   3 - c . ( d ,   e ,   f ) ∧ ( - 1 ,   1 ,   1 ) d ,   e ,   f ∧ - 1 ,   1 ,   1

= - 1 - a ,   2 - b ,   3 - c . ( e - f ,   - f - d ,   d + e ) e - f ,   - f - d ,   d + e

Passo 3

A segunda informação que temos sobre a reta que queremos determinar é que ela é concorrente com a reta r , isto quer dizer que elas têm um ponto em comum para algum λ , e então:

d t , s = 2 6 = A B → . t → ∧ s → t → ∧ s →

= - 1 - a ,   2 - b ,   3 - c . e - f ,   - f - d ,   d + e e - f ,   - f - d ,   d + e

= - 1 - 1 ,   2 - 1 - λ ,   3 - 3 - λ . e - f ,   - f - d ,   d + e e - f ,   - f - d ,   d + e

= - 2 ,   1 - λ ,   - λ . e - f ,   - f - d ,   d + e e - f ,   - f - d ,   d + e

Passo 4

A terceira informação que sabemos é que a reta está contida no plano dado. Logo, o produto do vetor diretor da reta pelo vetor normal ao plano é NULO:

d ,   e ,   f . 1 ,   0 ,   - 1 = 0 ⇒ d - f = 0 ⇒ d = f

Substituindo na equação da distância:

d t , s = 2 6 = A B → . t → ∧ s → t → ∧ s →

= - 2 ,   1 - λ ,   - λ . e - d ,   - 2 d ,   d + e e - d ,   - 2 d ,   d + e

Passo 5

Se a reta está contida no plano, todos os seus pontos satisfazem a sua equação, inclusive o ponto que é concorrente com r :

π : 1 - 3 + λ + 1 = 0 ⇒ λ = - 1

Substituindo λ = - 1 na equação da reta r , encontramos que o ponto de concorrência entre elas é ( 1 ,   0 ,   2 ) . Agora só falta descobrir o vetor diretor:

d t , s = 2 6 = A B → . t → ∧ s → t → ∧ s →

= - 2 ,   2 ,   1 . e - d ,   - 2 d ,   d + e e - d ,   - 2 d ,   d + e

Elevando ambos os membros da equação ao quadrado e resolvendo o sistema, encontramos:

d ,   e ,   f = d ,   e ,   d = ( 1 ,   3 ,   1 )

Logo, a equação vetorial da reta é:

t : X = 1 ,   0 ,   2 + α ( 1 ,   3 ,   1 )

Resposta

t : X = 1 ,   0 ,   2 + α ( 1 ,   3 ,   1 )

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Obtenha uma equação vetorial da reta que contêm o ponto A = 1,1 , 1 , está a distância de 1 / 2 de s : X = 0,1 , 0 + λ 0,0 , 1 e forma com π : 2 x - z = 0 um ângulo cujo cosseno é 7 / 15 .
Sendo r : X = 1,0 , 2 + λ 0,0 , 2 , s : X = - 1,0 , 1 + λ 1,1 , 0 e t : X = 0,0 , 0 + λ 1 , - 1,0 , calcule a distância entre r e a reta perpendicular comum a s e t .
Calcule a distância entre as retas r e s .(a) r : X = 2,1 , 0 + λ 1 , - 1,1 s : x + y + z = 2 x - y - 1 = 0 (b) r : ( x + 4 ) / 3 = y / 4 = z + 5 / ( - 2 ) s : ( 21 , - 5,2 ) + λ ( 6 , - 4 , - 1 ) (c)
Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:b) r passa pelos pontos A = ( 1 ,0 ,1 ) e B = ( - 1 ,- 1 ,0 ) e s pelos pontos C = ( 0 ,1 ,- 2 ) e D = ( 1 ,1 ,1 ) .
Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:d) r :x = 1 - t y = 2 + 3 t z = - t e s : eixo dos x