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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 44

Dada as retas r : X = 0,0 , 1 + λ 1,1 , 0 e s : X = 2,0 , 1 + λ 0,0 , 1 e os pontos P = 1,0 , 1 e Q = 2,1 , 1 , obtenha uma equação vetorial da reta que contém P , é concorrente com r e equidistante de Q e s .

Passo 1

Esta questão é bem semelhante com o exercício resolvido 20-16. Poderíamos resolvê-la repetindo o procedimento feito neste exercício resolvido. Entretanto, vamos fazer de uma forma diferente!

É bom que nós aprendemos uma outra forma distinta de resolver a mesma questão!

Então vamos lá. Queremos determinar uma equação vetorial (foca no formato da equação!) de uma reta t que contém um ponto P . Portanto, temos a seguinte reta:

t : X = P + λ t →

Vamos dizer que o vetor diretor dessa reta t é dado por t → = a , b , c . Quem são essas incógnitas? Não sabemos ainda, mas iremos saber já!

Passo 2

A primeira informação (conter o ponto) já foi utilizada. Vamos agora utilizar outras informações dadas na questão. É aqui que iremos diferenciar um pouco do exercício resolvido.

Sabemos também que a reta t é concorrente com r . Se são retas concorrentes, sabemos que elas estão no mesmo plano.

Seja A um ponto qualquer pertencente a reta r , podemos descrever esta relação de pertencer ao mesmo plano matematicamente através da seguinte equação:

A P → , t → , r → = 0

Isto é, o produto misto dos três vetores é igual a 0.

Para facilitar as nossas vidas, vamos escolher A = 0,0 , 1 , visto que já foi dado na questão. Então,

A P → = P - A = 1,0 , 1 - 0,0 , 1 = 1,0 , 0

Portanto, o produto misto será:

1 0 0 a b c 1 1 0 = 0

- c = 0

Nossa primeira relação! A terceira coordenada do vetor t → é igual a zero. Portanto, ele possui coordenadas dadas por t → = a , b , 0 . Só precisamos descobrir agora quem é a e b .

Passo 3

Vamos partir para a última relação: equidistância do ponto Q e reta s . Para isto, vamos começar calculando a distância do ponto Q até t que é mais fácil. Portanto,

d Q , t = | | Q P → ∧ t → | | | | t → | |

O vetor Q P → é dado por:

Q P → = P - Q = 1,0 , 1 - 2,1 , 1 = - 1 , - 1 , 0

E o produto vetorial Q P → ∧ t → é dado por:

Q P → ∧ t → = i j k - 1 - 1 0 a b 0 = a - b k = 0,0 , a - b

Portanto, substituindo estas relações na fórmula da distância, temos:

d Q , t = | | Q P → ∧ t → | | | | t → | | = 0 2 + 0 2 + a - b 2 a 2 + b 2 + 0 2 = a - b 2 a 2 + b 2

Agora, vamos partir para a análise da distância entre as duas retas t e s . Aqui é um pouco mais complicado pois a posição relativa entre as retas é um fator a ser considerado na hora de escolher a fórmula.

Entretanto, percebam que as duas retas nunca poderão ser paralelas distintas. Percebam que os dois vetores t → = a , b , 0 e s → = 0,0 , 1 não podem ser paralelos de forma alguma! Portanto, as duas retas são reversas e a sua distância é dada por:

d t , s = B P → , t → , s → | | t → ∧ s → | |

Sendo B um ponto qualquer de s . Escolheremos B = 2,0 , 1 pois já nos foi dado no enunciado da questão. Agora, é só repetir o que já fizemos bastante nesta questão. Portanto,

B P → = P - B = 1,0 , 1 - 2 , 0 , 1 = - 1 , 0 , 0

B P → , t → , s → = - 1 0 0 a b c 0 0 1 = - b

t → ∧ s → = i j k a b 0 0 0 1 = b i + - a j = b , - a , 0

Substituindo na relação de distância, temos:

d t , s = B P → , t → , s → | | t → ∧ s → | | = - b b 2 + - a 2 + 0 2 = - b a 2 + b 2

Passo 4

Agora que conseguimos as duas relações de distância, basta igualá-las e resolver a equação do segundo grau associada. Portanto,

d t , s = d Q , t

- b a 2 + b 2 = a - b 2 a 2 + b 2

- b = a - b 2

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminarmos o módulo e a raiz, temos:

b 2 = a 2 - 2 a b + b 2

a 2 - 2 a b = 0

a a - 2 b = 0

Cujas soluções são a = 0 ou a = 2 b . Então, temos dois casos distintos a serem analisados.

Caso a = 0 , o vetor t → = a , b , 0 = 0 , b , 0 . Como queremos qualquer vetor diretor da reta, colocamos o b em evidência, isto é, t → = b 0,1 , 0 e escolhemos 0,1 , 0 como vetor diretor da reta. Portanto, para o primeiro caso, temos:

t 1 : X = 1,0 , 1 + λ 0,1 , 0

Já para o segundo caso, a = 2 b , temos t → = a , b , 0 = 2 b , b , 0 = b 2,1 , 0 . Portanto, o vetor diretor será t → = 2,1 , 0 e a reta será:

t 2 : X = 1,0 , 1 + λ 2 , 1,0

E assim finalizamos a questão.

Resposta

t 1 : X = 1,0 , 1 + λ 0,1 , 0

t 2 : X = 1,0 , 1 + λ 2,1 , 0

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Obtenha uma equação vetorial da reta que contêm a origem, dista 2 de s : X = 0 , 1 , 2 + λ 0 , 1,0 e forma ângulos congruentes com t : X = 1 , 1 , 2 + λ 1 , - 1 , 0 e h : X = 2,3 , - 1 + λ 1,1 , 0 .
Obtenha uma equação vetorial da reta que contêm o ponto A = 1,1 , 1 , está a distância de 1 / 2 de s : X = 0,1 , 0 + λ 0,0 , 1 e forma com π : 2 x - z = 0 um ângulo cujo cosseno é 7 / 15 .
Sendo r : X = 1,0 , 2 + λ 0,0 , 2 , s : X = - 1,0 , 1 + λ 1,1 , 0 e t : X = 0,0 , 0 + λ 1 , - 1,0 , calcule a distância entre r e a reta perpendicular comum a s e t .
Calcule a distância entre as retas r e s .(a) r : X = 2,1 , 0 + λ 1 , - 1,1 s : x + y + z = 2 x - y - 1 = 0 (b) r : ( x + 4 ) / 3 = y / 4 = z + 5 / ( - 2 ) s : ( 21 , - 5,2 ) + λ ( 6 , - 4 , - 1 ) (c)
Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:b) r passa pelos pontos A = ( 1 ,0 ,1 ) e B = ( - 1 ,- 1 ,0 ) e s pelos pontos C = ( 0 ,1 ,- 2 ) e D = ( 1 ,1 ,1 ) .