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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 7.Problemas propostos - Ex. 5

Achar a distancia do ponto P à reta r nos casos

P (3,2 , 1) r : y = 2 x z = x + 3

Passo 1

A distancia de um ponto à uma reta é calculada a partir dessa fórmula aqui: d (P , r) = (| vec v xx vec A |)/(| vec v |)

Lembrando que o produto vetorial é calculado desse jeitão

vec a xx vec b = |[[i,j,k],[a_x,a_y,a_z],[b_x,b_y,b_z]]|

E o módulo assim:

|vec a| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 2

Então vamos começar a colocar a mão na massa começando calculando o vetor da reta r

r : y = 2 x z = x + 3

Como já temos tudo em função de x, ficamos que a parametrização de r é

r : (x , 2 x , x + 3)

r : (0 , 0 , 3) + x ( 1,2 , 1 )

Então nosso vetor vec v fica:

vec v = ( 1,2 , 1 )

Passo 3

Agora precisamos de um vetor vec A P , P nós ja temos, falta achar um ponto A na reta, vamos pegar a parametrização quando x = 0

A = (0,0 , 3)

Nosso vetor vec A P então fica

vec A P = P - A = (3,2 , 1) - (0 , 0,3)

vec A P = ( 3,2 , - 2 )

Passo 4

Agora que já temos nossos vetores, vamos partir pra cima do d (P , r) = (| vec v xx vec A P |)/(| vec v |) , começando pelo produto vetorial, ficamos com

vec A P xx vec v = |[[i,j,k],[3,2,-,2],[1,2,1]]|

Nosso produto então fica

vec A P xx vec v = ( 6 , - 5,4 )

Passo 5

Agora usando a formula da distancia, ficamos com

d (P , r) = (| vec v xx vec A P |)/(| vec v |)

d (P , r) = (sqrt(6^2 + ( - 5 )^2 + 4^2))/(sqrt(1^2 + 2^2 + 1^2))

d (P , r) = (sqrt(77))/(sqrt(6))

Resposta

d (P , r) = sqrt((77)/(6))

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Sejam A = 1,0 , 1 , B = 0,1 , 1 , C = ( 3 , - 2,1 ) e D = ( 0,0 , 1 ) . (a) Determine um ponto X na reta A B tal que a área do triângulo C D X seja 2. Quantos pontos X existem nessas condições?(b) Qua
(b) determine m e n para que o ponto P = 1 , m , n pertença à reta dada. Escreva equações da reta r que passa por A = ( 1 , - 2,3 ) e é paralela à reta x - 4 2 = y - 45 7 = z - 1 ;
Dados A = 1,2 , 4 , B = 2,4 , 1 , C = 1,1 , 5 e D = 2,2 , x , determine x para que os 4 pontos sejam coplanares
É dada a reta a x = 1 + 2 t y = - 3 - t z = 3 t . Determine os pontos da reta a cuja distância ao ponto X = ( - 6,2 , - 3 ) seja 3 3 .