Achar a distancia do ponto P à reta r nos casos

P (3,2 , 1) r : y = 2 x z = x + 3

Passo 1

A distancia de um ponto à uma reta é calculada a partir dessa fórmula aqui: d (P , r) = (| vec v xx vec A |)/(| vec v |)

Lembrando que o produto vetorial é calculado desse jeitão

vec a xx vec b = |[[i,j,k],[a_x,a_y,a_z],[b_x,b_y,b_z]]|

E o módulo assim:

|vec a| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 2

Então vamos começar a colocar a mão na massa começando calculando o vetor da reta r

r : y = 2 x z = x + 3

Como já temos tudo em função de x, ficamos que a parametrização de r é

r : (x , 2 x , x + 3)

r : (0 , 0 , 3) + x ( 1,2 , 1 )

Então nosso vetor vec v fica:

vec v = ( 1,2 , 1 )

Passo 3

Agora precisamos de um vetor vec A P , P nós ja temos, falta achar um ponto A na reta, vamos pegar a parametrização quando x = 0

A = (0,0 , 3)

Nosso vetor vec A P então fica

vec A P = P - A = (3,2 , 1) - (0 , 0,3)

vec A P = ( 3,2 , - 2 )

Passo 4

Agora que já temos nossos vetores, vamos partir pra cima do d (P , r) = (| vec v xx vec A P |)/(| vec v |) , começando pelo produto vetorial, ficamos com

vec A P xx vec v = |[[i,j,k],[3,2,-,2],[1,2,1]]|

Nosso produto então fica

vec A P xx vec v = ( 6 , - 5,4 )

Passo 5

Agora usando a formula da distancia, ficamos com

d (P , r) = (| vec v xx vec A P |)/(| vec v |)

d (P , r) = (sqrt(6^2 + ( - 5 )^2 + 4^2))/(sqrt(1^2 + 2^2 + 1^2))

d (P , r) = (sqrt(77))/(sqrt(6))

Resposta

d (P , r) = sqrt((77)/(6))

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