Sejam P = (4,1,-1) e r: (x,y,z) = (2+t, 4-t, 1+2t).

b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P.

Passo 1

Sabemos que os termos independentes de t em cada coordenada, Q = (2,4,1), formam um ponto que está incluso no plano desejado. Dessa forma, podemos partir do pressuposto que os pontos P = (4,1,-1) e Q = (2,4,1) são pontos presentes no plano.

Passo 2

A partir dos dois pontos dados, podemos encontrar um vetor P Q → ,   tal que:

P Q → = 2 - 4 ,   4 - 1 ,   1 - - 1

P Q → = - 2 ,   3 ,   2

Usando o vetor encontrado e o vetor diretor da reta, V = (1, -1, 2) para encontrarmos o vetor normal ao plano:

n → =   P Q → × V

n → = det i j k - 2 3 2 1 - 1 2

Realizando o cálculo do determinante:

n → = 6 i + 2 j + 2 k - 3 k + 4 j + 2 i

n → = 8 i + 6 j - k

Passo 3

A equação cartesiana do plano é dada por:

ax + by + cz + d = 0

Substituindo os valores encontrados no vetor normal por a, b e c:

8x + 6y -1z + d = 0

Para descobrirmos o valor de d, podemos substituir o ponto inicial de r na equação do plano, tal que:

Q = (2,4,1)

8(2)+ 6(4) -1(1) + d = 0

16 + 24 – 1 + d = 0

d = -39

Resposta

8x + 6y - z - 39 = 0

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