Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 9b
Sejam P = (4,1,-1) e r: (x,y,z) = (2+t, 4-t, 1+2t).
b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P.
Passo 1
Sabemos que os termos independentes de t em cada coordenada, Q = (2,4,1), formam um ponto que está incluso no plano desejado. Dessa forma, podemos partir do pressuposto que os pontos P = (4,1,-1) e Q = (2,4,1) são pontos presentes no plano.
Passo 2
A partir dos dois pontos dados, podemos encontrar um vetor tal que:
Usando o vetor encontrado e o vetor diretor da reta, V = (1, -1, 2) para encontrarmos o vetor normal ao plano:
det
Realizando o cálculo do determinante:
Passo 3
A equação cartesiana do plano é dada por:
ax + by + cz + d = 0
Substituindo os valores encontrados no vetor normal por a, b e c:
8x + 6y -1z + d = 0
Para descobrirmos o valor de d, podemos substituir o ponto inicial de r na equação do plano, tal que:
Q = (2,4,1)
8(2)+ 6(4) -1(1) + d = 0
16 + 24 – 1 + d = 0
d = -39
Resposta
8x + 6y - z - 39 = 0