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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 23

Obtenha a equação reduzida da superfície esférica que tangencia a reta interseção dos planos π 1 : x - y + z = 0 e π 2 : 2 x - y - z = 3 , e é concêntrica com S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 y - 8 z + 16 = 0

Passo 1

A reta interseção desses planos estará em:

x - y + z = 0 → y = x + z

E se aplicarmos essa equação em π 2 será:

2 x - x - z - z = 3

x - 2 z = 3

x = 3 + 2 z

Portanto:

y = 3 + 2 z + z

y = 3 + 3 z

Pois todas as variáveis estarão parametrizadas em relação a z .

Passo 2

Agora vamos reduzir a equação da esfera.

x 2 + y 2 - 6 y + z 2 - 8 z = - 16

Completando esses quadrados nós teremos:

x 2 + y 2 - 6 y + 9 + z 2 - 8 z + 16 = - 16 + 9 + 16

O que nos deixa como:

x 2 + y - 3 2 + z - 4 2 = 9

Passo 3

Porém nós queremos saber qual a esfera com o mesmo centro que tangencia com a reta do passo, e para isso vamos adotar um raio dessa esfera igual a ρ .

E aplicando o ponto ( 3 + 2 z , 3 + 3 z , z ) nessa nova esfera nós teremos:

( 3 + 2 z ) 2 + 3 + 3 z - 3 2 + z - 4 2 = ρ 2

Abrindo essa equação nós teremos:

14 z 2 + 4 z + ( 25 - ρ 2 ) = 0

Fazendo a determinante ser zero para que tenhamos somente um valor de z (pois queremos a tangente) nós teremos:

Δ = 16 - 4 ⋅ 14 ⋅ 25 - ρ 2 = 0

Δ = 16 - 1400 + 56 ρ 2 = 0

56 ρ 2 = 1400 - 16

ρ 2 = 173 7

Então a equação da esfera que tangencia a reta será:

x 2 + y - 3 2 + z - 4 2 = 173 7

Resposta

x 2 + y - 3 2 + z - 4 2 = 173 7

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Obtenha a equação reduzida da superfície esférica que é tangente aos planos π 1 : x = 2 z + 8 e π 2 : 2 x - z + 5 = 0 , cujo centro pertence à reta r : x + 2 = y = 0 .
Determine os planos tangentes à superfície esférica S : x - 1 2 + y - 2 2 + z 2 = 1 que são paralelos ao plano π : 2 x + y - z = 0
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Dado os pontos A = 3 , - 1 , - 2 e B = 1 , 1 , - 2 , obtenha equações do lugar geométrico dos pontos X tais que A B X seja equilátero. Descreva-o geometricamente.
Obtenha equações da circunferência Γ de centro G que contém os pontos A e B , nos casos: G = 1,2 , 1 , A = 2,2 , 0 , B = 1,1 , 4 G = 1 , 1,4 , A = 0,3 , 2 , B = 2,3 , 6 G = 2,1 , 1 , A = 1,0 , 2 , B =