Determine a interseção da reta r : x - 1 = y 2 = z com a superfície esférica S de centro ( 1,2 , 1 ) e raio 21

Passo 1

A equação da esfera é dada por:

x - 1 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 21

E a reta tem equação de:

x - 1 = z → x = z + 1

y 2 = z → y = 2 z

Então aplicando o ponto ( z + 1,2 z + z ) nós teremos o seguinte sistema:

z + 1 - 1 2 + 2 z - 2 2 + z - 1 2 = 21

z 2 + 4 z 2 - 8 z + 4 + z 2 - 2 z + 1 = 21

6 z 2 - 10 z + 5 = 21 = 0

6 z 2 - 10 z - 16 = 0

Isso nos dá raízes iguais a:

z 1 = - 1

z 2 = 8 3

Esses são as posições em z cuja a reta se encontra com a esfera, agora só encontrar x e y para esses z aí. Já que

x = z + 1

y = 2 z

z = z

Passo 2

Para z = - 1 teremos:

y = 2 ⋅ - 1 = - 2

x = - 1 + 1 = 0

Logo o primeiro ponto de interseção será:

( 0 , - 2 , - 1 )

E para z = 8 3 teremos:

x = 8 3 + 1 = 11 3

y = 2 ⋅ 8 3 = 16 3

E o outro ponto seria:

11 3 , 16 3 , 8 3

Resposta

( 0 , - 2 , - 1 )

E

11 3 , 16 3 , 8 3

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