Ache as equações da reta r que passa pelo ponto B   =   ( 3,1 , 2 ) e é concorrente com as retas

s :   x + 1 1   =   y + 2 2 = z - 5 - 2 e t :   x - 4 1   =   y - 1 - 1 = z - 4 - 1 .

Passo 1

Fala, galera! Espero que estejam animados para mais uma questão.

A reta r que queremos descobrir pode ser escrita como

x = x 0 + λ l

y = y 0 + λ m

z = z 0 + λ n

Como já sabemos que a reta passa por B   =   ( 3,1 , 2 ) , então podemos identificar

x = 3 + λ l

y = 1 + λ m

z = 2 + λ n

Agora, só precisamos saber quem é o vetor diretor da reta.

Passo 2

Sabemos que a reta é concorrente com as retas

s :   x + 1 1   =   y + 2 2 = z - 5 - 2 e t :   x - 4 1   =   y - 1 - 1 = z - 4 - 1

Vamos escrever a equação paramétrica das retas acima:

s :   x + 1 1   =   y + 2 2 = z - 5 - 2 = s ⇒ x = - 1 + s ,   y = - 2 + 2 s ,   z = 5 - 2 s

t :   x - 4 1   =   y - 1 - 1 = z - 4 - 1 = t ⇒ x = 4 + t ,   y = 1 - t ,   z = 4 - t

Qualquer ponto na primeira reta pode ser escrito como S = ( - 1 + s ,   - 2 + 2 s ,   5 - 2 s ) enquanto qualquer ponto na segunda reta pode ser escrito como T = ( 4 + t ,   1 - t ,   4 - t ) . Como a reta r é concorrente as retas s e t , temos que

B S → = S - B   = ( - 1 + s ,   - 2 + 2 s ,   5 - 2 s )   -   ( 3,1 , 2 )   = ( - 4 + s ,   - 3 + 2 s ,   3 - 2 s )  

T B → = B - T   =   ( 3,1 , 2 )   - ( 4 + t ,   1 - t ,   4 - t )   =   ( - 1   - t ,   t ,   - 2 + t )  

Como esses dois vetores são paralelos a reta r , devemos ter B S → = k T B → , chegando ao seguinte sistema:

- 4 + s = - k ( 1   + t )  

  - 3 + 2 s = k t

3 - 2 s = k t - 2 k

Somando a segunda equação com a terceira, temos:

2 k t - 2 k = 0 ⇒ t = 1

Substituindo o resultado acima na segunda equação:

- 3 + 2 s = k t ⇒ k = 2 s - 3

Substituindo os dois resultados na primeira equação, obtemos:

- 4 + s = - ( 2 s - 3 ) ( 1   + 1 )   ⇒   s   +   4 s   =   4   + 6   ⇒ s   =   2  

Então, t = 1 , s   =   2   e k = 2 ⋅ 2 - 3   =   1 . O seguinte vetor deve ser paralelo ao vetor diretor da reta

S T →   =   T - S     = ( 4 + t ,   1 - t ,   4 - t )   - ( - 1 + s ,   - 2 + 2 s ,   5 - 2 s )    

S T →   =   ( 5,0   , 3 )   - ( 1,2 , 1 )   =   ( 4 , - 2,2 ) ,

onde usamos s   =   2 e t = 1 .

Como

v → r = α ( 4 , - 2,2 )

podemos escolher α = 1 2 sem nenhum problema, porque não temos mais nenhuma restrição sobre esse parâmetro. Assim, v → r = ( 2 , - 1,1 ) e

x   =   3   +   2 t ;

y   =   1   - t ;

x   =   2   + t .

Resposta

x   =   3   +   2 t ;

y   =   1   - t ;

x   =   2   + t .

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