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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 23

Calcule a e b para que a reta r esteja contida no plano π . Dados:

r   :   x - 2 8 = y + 2 a = z - b 4 e π { a x   + 8 y - 16 z   +   12   =   0 .

Passo 1

E aí, galera. Vamos começar fazendo o básico que é reescrever a equação da reta r na forma paramétrica. Então x - 2 8 = y + 2 a = z - b 4   =   λ , nos fornecendo o seguinte sistema:

x - 2   =   8 λ   ⇒   x   =   8 λ   +   2

y + 2   =   a λ   ⇒   y   =   a λ   - 2

z - b   =   4 λ   ⇒   z   =   4 λ   +   b

Daí, a reta r , na forma paramétrica, será dada por: R   =   (   8 λ   +   2 , a λ   - 2 ,   4 λ   +   b   ) .

Para que a reta esteja contida no plano π { a x   + 8 y - 16 z   +   12   =   0 , este deve assumir os valores de x , y e z provenientes de R . Então,

a ( 8 λ   +   2 ) + 8 ( a λ   - 2 ) - 16 ( 4 λ   +   b   )   +   12   =   0

⇒ 8 λ a   +   2 a + 8 λ a   - 16 - 64 λ   - 16   b   +   12   =   0

⇒ 16 λ a   +   2 a   - 64 λ   - 16   b   - 4   =   0

Fazendo λ   =   0 :

⇒ 2 a   - 16   b   - 4   =   0   ⇒ a   - 8 b   =   2

Fazendo λ   =   1 :

⇒ 16 a   +   2 a   - 64   - 16   b   - 4   =   0   ⇒ 18 a   - 16 b   =   68   ⇒   9 a   - 8 b   =   34

Subtraindo a equação de λ   =   1 da equação de λ   =   0 vem que:

a   - 8 b   - ( 9 a   - 8 b )   =   2   -   34   ⇒   - 8 a   =   - 32   ⇒   a   =   4

e, por fim, substituindo o valor de   a   =   4 n a equação de λ   =   0 temos

4   - 8 b   =   2   ⇒   8 b   =   4 - 2   ⇒ b   =   2 8   =   1 4

Resposta

a   = 4 e b   = 1 4

Exercícios de Livros Relacionados

Dados a reta r e o plano π , determine o valor de m para que se tenha r / / π e r ⊥ π , nos casos: r : x . y . z = 1,2 , 0 + t 2 , m , - 1 e π : 3 x + 2 y + m z = 0
Estabelecer equação reduzidas na variável x da reta de interseção dos planos: π 1 : 3 x - 2 y - z - 1 = 0 e π 2 : x + 2 y - z - 7 = 0
Calcular os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano π π : x = - 2 + t y = 3 - 2 t z = 2 t e r : m x + 2 y - 3 z + n = 0
Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π . r : y = x - 10 z = - x + 1 e π : 2 x - y + 3 z - 9 = 0
Sejam a reta r e o plano π dado por r : y = 2 x - 3 z = - x + 2 e π : 2 x + 4 y - z - 4 = 0 Determinar:O ponto de interseção de r com π ;