Enunciado

Estabelecer as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A 3,6 , 4 ,   intercepta o eixo O z e é paralela ao plano.

π : x - 3 y + 5 z - 6 = 0

Passo 1

Precisamos encontrar a equação da reta que é paralela ao plano que atinja o eixo z . Isso significa que a reta passa por algum ponto em z , mas que não toca os outros eixos ( x   e   y ) e que passe também por um ponto A .

Precisamos de um ponto dela e seu vetor diretor, essa reta tem um ponto que passa em z que chamaremos de B 0,0 , z a . E o vetor v → pode ser o segmento de reta A B → , que é dado por:

B A → = A - B = 3 - 0,6 - 0,4 - 2 = 3,6 , 4 - z a

v → = ( 3,6 , 4 - z a )

Como a reta é paralela ao plano, o vetor diretor deve ser perpendicular ao vetor normal ao plano, que pode ser dado utilizando os termos que contem x , y e z do próprio plano:

n → = ( 1 , - 3,5 )

Passo 2

Agora, temos que garantir a condição de perpendicularidade dos vetores, onde o produto escalar entre eles é nulo (lembrando de uma regrinha que diz que o produto escalar entre dois vetores sempre nos dará um número).

v →   .   n → = 0

3,6 , 4 - z a 1 , - 3,5 = 0

3.1 + 6 . - 3 + 5 4 - z c = 0

3 - 18 + 5 4 - z c = 0

- 15 + 20 - 5 z c = 0

5 = 5 z c

z c = 1

Então, o vetor diretor é dado por:

v → = 3,6 , 4 - z c = ( 3,6 , 3 )

A metade desse vetor também é um vetor diretor, e vamos usá-la para facilitar nossos cálculos:

v → = ( 1,2 , 1 )

Passo 3

Nós temos um vetor diretor da reta e um ponto A , com isso conseguimos estabelecer as equações simétricas da reta, que são dadas por:

x - x 0 a = y - y 0 b = z - z 0 c

Vamos considerar os termos x 0 , y 0 e z 0   os pontos do vetor A ( 3,6 , 4 ) e os termos a , b , c os termos do vetor diretor.

x - 3 1 = y - 6 2 = z - 4 1

Resposta

x - 3 1 = y - 6 2 = z - 4 1

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Dados os planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e π 2 : x + y - z - 1 = 0 , determine o plano que contém π 1 ∩ π 2 e é ortogonal ao vetor (-1, 1, -1).
Considere as retas (x, y, z) = t(1, 2, -3) e (x, y, z) = (0, 1, 2) + s(2, 4, -6). Encontre a equação geral do plano que contém estas duas retas.
Seja r a reta determinada pela interseção dos planos x + y – z = 0 e 2x – y + 3z – 1 = 0. Ache a equação do plano que passa por A = (1, 0, -1) e contém a reta r.
Ache as equações da reta que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e é paralela aos planos 2x + 3y + z +1 = 0 e x – y + z = 0
b) Ache equações da reta que passa pelo ponto A = (1, 0, 1) e intercepta a reta r ortogonalmente.