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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 13

Ache as equações da reta que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e é paralela aos planos 2x + 3y + z +1 = 0 e x – y + z = 0

Passo 1

Sabemos que os vetores normais aos planos estão relacionados à reta que procuramos nessa questão. Analisando os planos dados, podemos inferir que os vetores normais são tais que:

N 1   = 2 ,   3 ,   1

N 2   = 1 ,   - 1 ,   1

Passo 2

Como temos dois vetores normais para acharmos um único vetor diretor da reta que estamos procurando, vamos usar do produto vetorial, tal que:

v → =   N 1 × N 2  

v → = det i j k 2 3 1 1 - 1 1

Realizando a conta do determinante:

v → =   3i + 1j – 2k – 3k – 2j + 1i

v → =   4i – 1j – 5k

Tal que v → = ( 4 ,   - 1 ,   - 5 ) é o vetor diretor da reta desejada.

Passo 3

Sabemos que a equação paramétrica da reta é tal que:

x =   x 0 + a t y =   y 0 + b t z =   z 0 + c t

Tal que (a, b, c) é o vetor diretor da reta. Dessa forma:

x =   x 0 + 4 t y =   y 0 - 1 t z =   z 0 - 5 t

x 0 ,   y 0 ,   z 0 são coordenas de um ponto presente na reta. Como nos foi dado que a reta passa pelo ponto P = (1, 0, 1):

x =   1 + 4 t y =   0 - 1 t z =   1 - 5 t

Resposta

x =   1 + 4 t y =   - t z =   1 - 5 t

r: (x, y, z) = (1+4t, -t, 1-5t)

Exercícios de Livros Relacionados

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Determinar os pontos de interseção do plano: π : 2 x + 4 y - z - 4 = 0 Com os eixos coordenados e, também, a reta interseção deste plano com o plano x O y .
O plano π : x + y - z - 2 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A , B e C . Calcular a área do triângulo A B C .