Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 9
A tangente, no ponto P, à circunferência de centro O e raio 3 é paralela à reta y = −2x + 1. Quais são as coordenadas de P? E se o raio da circunferência fosse 5?
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??
A circunferência dada tem centro na origem e raio 3, portanto sua equação é dada por:
Se a reta tangente no ponto P é paralela à reta significa que a reta tangente possui a mesma inclinação, ou seja, o mesmo coeficiente angular. Logo, ela tem o seguinte formato:
Vamos substituir a equação da reta tangente na equação da circunferência, com o objetivo de descobrir o ponto P onde elas se encontram.
Como chegamos à uma equação do segundo grau, vamos em busca das suas raízes.
Para que a equação possua raízes reais é preciso que o determinante seja maior que zero. Logo,
Como queremos os pontos que pertencem à circunferência consideraremos para os valores de b os dois extremos desse intervalo.
Passo 2
Para a nossa equação da reta tangente será e a equação do 2º será dada por:
O discriminante será igual a:
Logo, o valor de x será dado por:
Consequentemente, o valor de y será:
Temos então o primeiro ponto P possível que seria a interseção entre a circunferência e a reta tangente:
De modo análogo, para , teremos a equação da reta tangente que nos dará o ponto de interseção:
Passo 3
Vamos seguir o mesmo caminho, mas agora a circunferência dada tem centro na origem e raio igual a 5, portanto sua equação é dada por:
Vamos substituir a equação da reta tangente na equação da circunferência, logo:
Como chegamos à uma equação do segundo grau, vamos em busca das suas raízes.
Para que a equação possua raízes reais é preciso que o determinante seja maior que zero. Logo,
Como queremos os pontos que pertencem à circunferência consideraremos para os valores de b os dois extremos desse intervalo.
Passo 4
Para a nossa equação da reta tangente será e a equação do 2º será dada por:
O discriminante será igual a:
Logo, o valor de x será dado por:
Consequentemente, o valor de y será:
Temos então o primeiro ponto P possível que seria a interseção entre a circunferência e a reta tangente:
De modo análogo, para , teremos a equação da reta tangente que nos dará o ponto de interseção:
Resposta
Para a circunferência de raio 3:
Para a circunferência de raio 5: