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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 16

Obtenha uma equação vetorial da reta r contida no plano π : y = z , sabendo que a medida angular entre r e s : X = 1 ,   1 ,   2 + λ ( 1 ,   - 1 ,   0 ) é 60 ° e que r dista 1 do ponto P = ( 1 ,   0 ,   0 ) .

Passo 1

Temos que a reta r está contida em π : y - z = 0 . Então seu vetor diretor deve ser perpendicular ao vetor normal de π , justo? Ou seja, o produto escalar entre eles deve ser 0.

Sendo r → = ( a ,   b ,   c ) o vetor diretor de r e n → = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) o vetor normal de π , temos

r → . n → = 0

a ,   b ,   c . 0 ,   1 ,   - 1 = 0

b - c = 0

b = c

Então podemos escrever r → = a ,   b ,   c = ( a ,   c ,   c ) .

Além disso, como a reta r está contida em π , suas coordenadas satisfazem

y - z = 0   ( I )

Passo 2

A medida angular entre r e s :   X = 1 ,   1 ,   2 + λ ( 1 ,   - 1 ,   0 ) é 60 ° , então o ângulo entre seus vetores diretores deve ser 60 ° .

cos ⁡ 60 ° = r → . s → r → . s →

Sendo r → = ( a ,   c ,   c ) e s → = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) , temos

cos ⁡ 60 ° = a ,   c ,   c . 1 ,   - 1 ,   0 | | ( a ,   c ,   c ) | | . | | ( 1 ,   - 1 ,   0 ) | |

1 2 = a - c a 2 + 2 c 2 . 1 2 + ( - 1 ) ²

1 2 = a - c a 2 + 2 c 2 . 2

2 a 2 + 4 c 2 = 2 a - 2 c

2 a 2 + 4 c 2 = ( 2 a - 2 c ) ²

2 a 2 + 4 c 2 = 4 a 2 - 8 a c + 4 c ²

2 a 2 - 8 a c = 0

2 a 2 = 8 a c

Dividindo os dois lados por 8 a

a 4 = c

Daí temos que

c = a 4 ,   a ≠ 0

Então podemos escrever r → = a ,   c ,   c = a , a 4 , a 4 .

Arbitrando a = 1 : r → = 1 , 1 4 , 1 4

Passo 3

Por fim, temos que a reta r dista 1 do ponto P = ( 1 ,   0 ,   0 ) .

A distância entre P e r é dada por

d P , r = A P → ∧ r → r → = 1

Onde A = ( x ,   y ,   z ) é um ponto de r e, portanto, A P → = P - A = ( 1 - x ,   - y ,   - z )

E aí temos que

A P → ∧ r → 2 = d P , r 2 . r → ²

Ou seja

A P → ∧ r → 2 = 1 ² . 1 + 1 16 + 1 16 2

A P → ∧ r → 2 = 1 . 9 8 2

A P → ∧ r → 2 = 9 8   ( I I )

Passo 4

Calculando A P → ∧ r → , temos - y + z 4 , x - 4 z - 1 4 , - x + 4 y + 1 4 e aí

A P → ∧ r → 2 = 17 y 2 + 8 y - 8 y x - 2 y z + 17 z 2 + 8 z + 2 x 2 + 2 - 8 z x - 4 x 16

Igualando essa expressão com ( I I ) :

17 y 2 + 8 y - 8 y x - 2 y z + 17 z 2 + 8 z + 2 x 2 + 2 - 8 z x - 4 x 16 = 9 8

7 y 2 + 8 y - 8 y x - 2 y z + 17 z 2 + 8 z + 2 x 2 + 2 - 8 z x - 4 x = 18   ( I I I )

Passo 5

De ( I ) , temos que y = z , substituindo em ( I I I ) :

7 z 2 + 8 z - 8 z x - 2 z ² + 17 z 2 + 8 z + 2 x 2 + 2 - 8 z x - 4 x = 18

22 z 2 + 16 z + 2 x 2 + 2 - 16 z x - 4 x = 18

Arbitrando x = 1 :

22 z 2 + 16 z + 2 + 2 - 16 z - 4 = 18

22 z 2 - 18 = 0

z ' = 3 11 11 = y '

z ' ' = - 3 11 11 = y ' '

Passo 6

Seja a reta r : X = x ,   y ,   z + β 1 , 1 4 , 1 4 , temos

r ' : X = 1 , 3 11 11 ,   3 11 11 + β 1 , 1 4 , 1 4

r ' ' : X = 1 , - 3 11 11 ,   - 3 11 11 + β 1 , 1 4 , 1 4

Resposta

r ' : X = 1 , 3 11 11 ,   3 11 11 + β 1 , 1 4 , 1 4

r ' ' : X = 1 , - 3 11 11 ,   - 3 11 11 + β 1 , 1 4 , 1 4

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