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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 13a

Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e t :

a) r : x - 1 = 2 y = z                                   s : x = y = 0                             t : x - 2 = z = 0

Passo 1

Vamos começar encontrando a distância entre r e s .

Um ponto genérico de r é P = t , t - 1 2 ,   t - 1 , pois:

z = x - 1

y = x - 1 2

x ,   y ,   z = x , x - 1 2 ,   x - 1 = t , t - 1 2 ,   t - 1

Um ponto genérico de s é A = ( 0 ,   0 ,   p ) :

x ,   y ,   z = ( 0 ,   0 ,   z )

Trocando o parâmetro por p :

x ,   y ,   z = ( 0 ,   0 ,   p )

Se escolhermos p = 0 , temos A = 0 ,   0 ,   0 ok?

Além disso, um vetor diretor de s é s → = ( 0 ,   0 ,   1 )

Passo 2

A distância o ponto P de r até s é dada por

d P ,   s = A P → ∧ s → s →

Como A P → = t , t - 1 2 ,   t - 1 - 0 ,   0 ,   0 = t , t - 1 2 ,   t - 1 e s → = ( 0 ,   0 ,   1 ) , temos:

d P ,   s = t , t - 1 2 ,   t - 1 ∧ ( 0 ,   0 ,   1 ) ( 0 ,   0 ,   1 )

d P ,   s = t - 1 2 ,   - t ,   0 ( 0 ,   0 ,   1 )

Calculando os módulos:

d P ,   s = 5 t 2 - 2 t + 1 2 1

d P ,   s = 5 t 2 - 2 t + 1 2

Belezinha, agora vamos calcular a distância de P até t e igualar as duas distâncias :D

Passo 3

Um ponto genérico de t é B = ( 2 ,   b ,   0 ) , se escolhermos b = 0 , temos B = ( 2 ,   0 ,   0 ) .

Além disso, um vetor diretor de t é t → = ( 0 ,   1 ,   0 ) .

A distância de P = t , t - 1 2 ,   t - 1 até t será dada por

d P ,   t = B P → ∧ t → t →

Sabendo que B P → = t - 2 , t - 1 2 ,   t - 1 :

d P ,   t = t - 2 , t - 1 2 ,   t - 1 ∧ ( 0 ,   1 ,   0 ) 0 ,   1 ,   0

d P ,   t = ( - t + 1 ,   0 ,   t - 2 ) 0 ,   1 ,   0

Calculando os módulos:

d P ,   t = 2 t 2 - 6 t + 5

Passo 4

Como queremos que a distância de r até s seja igual a distância de r até t , vamos igualar d ( P ,   s ) e d ( P ,   t ) :

5 t 2 - 2 t + 1 2 = 2 t 2 - 6 t + 5

Elevando os dois lados ao quadrado:

5 t 2 - 2 t + 1 = 4 . 2 t 2 - 6 t + 5

5 t 2 - 2 t + 1 = 8 t 2 - 24 t + 20

3 t 2 - 22 t + 19 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, temos

t ' = 19 3

t ' ' = 1

Substituindo esses valores no ponto genérico P = t , t - 1 2 ,   t - 1 , temos

P ' = 19 3 , 8 3 , 16 3

P ' ' = ( 1 ,   0 ,   0 )

Resposta

P ' = 19 3 , 8 3 , 16 3

P ' ' = ( 1 ,   0 ,   0 )

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Dada a reta r : X = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) e os pontos A = (1, 1, 1) e B = (0, 0, 1), ache o ponto de r equidistante de A e B.
Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A = (1, −1, 2) e B = (4, 3, 1). Este plano passa pelo ponto médio de AB? Ele é perpendicular ao segmento AB?
Dados A = (0, 2, 1), r : X = (0, 2, −2) + t(1, −1, 2), ache os pontos de r que distam 3 de A. A distância do ponto A a reta r é maior, menor ou igual a 3 ? Por que?
Dados os vértices A = 1,0 , - 1 ,B = ( 2,1 , 0 ) e C = ( 2,1 , 1 ) de um Δ A B C ,escreva equações paramétricas da mediana relativa ao vértice A . ;
(a) Escreva equações da reta r que passa por A = ( 1 , - 2,3 ) e é paralela à reta x - 4 2 = y - 45 7 = z - 1 ;