Verifique para quais pontos X da reta r a área do triângulo A B X é a menor possível e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.

b) A = 1 ,   0 ,   3                           B = 2 ,   1 ,   2                           r : 2 x - y + z = 0 = x + z - 1

Passo 1

Da reta r , temos

2 x - y + z = 0 x + z - 1 = 0

Da segunda equação, temos z = - x + 1 , substituindo na primeira:

2 x - y - x + 1 = 0

y = x + 1

Então, nossa reta pode ser escrita assim:

x ,   y ,   z = ( x ,   x + 1 ,   - x + 1 )

Substituindo x pelo parâmetro t , um ponto genérico X da reta r é dado por

X = t ,   t + 1 ,   - t + 1

Sabendo que A B → = B - A = 1 ,   1 ,   - 1 e A X → = X - A = t - 1 ,   t + 1 ,   - t - 2 , a área do triângulo A B X é metade da área do paralelogramo, ou seja:

A t = A B → ∧ A X → 2

Substituindo os vetores que temos:

A t = 1 ,   1 ,   - 1 ∧ t - 1 ,   t + 1 ,   - t - 2 2

A t = ( - 1 ,   3 ,   2 ) 2

Calculando o módulo do vetor:

A t = 1 + 9 + 4 2

A t = 14 2

Passo 2

Cara, olha que coisa, chegamos que a área do nosso triângulo é

A t = 14 2

Não temos nenhuma variável dentro dessa expressão, o nosso t sumiu, ou seja, a área sempre vai ser 14 2 , independente do ponto X que tivermos.

Por que isso acontece? Olha só:

A reta formada pelo vetor diretor A B → é paralela à reta r , então, a área do triângulo A B X sempre vai ser a mesma ok?

Resposta

Para qualquer ponto X , pois A B → é paralelo à reta r .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados