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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 14.4 - Ex. 9

Ache os pontos de máximo e os pontos de mínimo da função f x , y = 7 x + 5 y + 2 definida na região determinada pelas desigualdades:

2 x + y + 9 ≥ 0 - x + 2 y + 6 ≥ 0 x ≥ 0 x + y - 4 ≤ 0

Passo 1

Vamos começar dando uma ajeitada nas equações:

y ≥ - 2 x - 9 y ≥ x 2 - 3 y ≤ - x + 4 x ≥ 0

A região que a gente quer está acima da reta vermelha, acima da reta azul, e abaixo da reta verde. Além disso, como x ≥ 0 , só vale o que está à direita do eixo y .

Passo 2

Beleza, a gente quer achar o máximo da função f x , y = 7 x + 5 y + 2 nessa região limitada. Isso é equivalente a achar o máximo de 7 x + 5 y e somar 2 , né? Então vamos fazer desse jeito. O vetor perpendicular a 7 x + 5 y é ( - 5 ,   7 ) . Vamos desenhar uma reta nessa direção passando pela origem.

O encontro dessa reta preta com a verde vai ser o ponto de máximo!

- 5 x + 7 y = 0 y = - x + 4

Substituindo a segunda na primeira:

- 5 x + 7 - x + 4 = 0

- 5 x - 7 x + 28 = 0

Assim,

x = 7 3

E substituindo,

y = - 7 3 + 4

y = 5 3

Portanto, o máximo da função é:

f x , y = 7 x + 5 y + 2

f 7 3 , 5 3 = 7 7 3 + 5 5 3 + 2

f 7 3 , 5 3 = 83 2

Passo 3

Agora pra acharmos o mínimo, faz assim: a gente quer o menor valor possível de 7 x + 5 y + 2 . Aí se liga: o menor valor de x já é o 0 , não tem como fugir. Então vamos botar o menor valor possível de y nessa região, que do gráfico é y = - 3 . Assim:

f 0 ,   - 3 = 5 - 3 + 2

f 0 ,   - 3 = - 13

Resposta

Máximo: 83 2

Mínimo: - 13

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