Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 12
Obtenha uma equação da superfície esférica que contém e
Passo 1
Para a letra :
A equação de uma esfera é dada por:
Aplicando teremos:
Aplicando :
Aplicando :
E aplicando :
Multiplicando a terceira equação por 2 nós teremos:
Note que podemos escrever essa equação da seguinte forma:
Onde e , logo o que sobra é
Dessa forma na equação encontramos:
Com , então em encontraremos em encontraremos , portanto aplicando o que encontramos na equação geral da esfera nós teremos:
Passo 2
Agora aplicando os pontos da letra na equação geral:
O que nos dará um sistema igual a:
E sistema não tem solução e se não tem solução então não tem nenhuma esfera que comporte os quatro pontos.
Passo 3
Agora aplicando os pontos para a letra nós teríamos o seguinte sistema:
Logo o sistema fica:
Aplicando nas três equações nós teremos:
Aplicando nas duas outras equações nós teremos:
E por termos encontrado duas equações iguais no final do sistema, isso nos quer dizer que há inúmeras soluções para esse sistema, já que inúmeros valores de e de solucionam esse sistema. Nos dando uma esfera com equação geral igual a:
Passo 4
Agora finalmente aplicando os pontos da letra :
Essa última equação nos daria:
Multiplicando por 2:
Ou algo como:
Pelas três primeiras equações vemos que
E a única solução para isso é , portanto , nos dando uma equação geral de esfera igual a: