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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 13

Obtenha uma equação da superfície esférica que contém os pontos 0,0 , 1 , 1,0 , 0 , ( 0,1 , 0 ) , cujo centro pertence ao plano π : x + y - z = 0

Passo 1

A principio vamos supor que a esfera está fora da origem e que tem raio 1 (para conter os pontos citados), então ela terá uma equação igual a:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = 1

Onde x 0 , y 0 e z 0 são os pontos de centro que respeitam a equação do plano ou seja:

x 0 + y 0 - z 0 = 0 → z 0 = x 0 + y 0

Logo a equação fica:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - x 0 - y 0 2 = 1

Aplicando o primeiro ponto nós teremos:

- x 0 2 + - y 0 2 + 1 - z 0 2 = 1

O segundo:

1 - x 0 2 + - y 0 2 + - z 0 2 = 1

E o terceiro:

- x 0 2 + 1 - y 0 2 + - z 0 2 = 1

O que nos dá um sistema igual a:

x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 - 2 z 0 + 1 = 1

1 - 2 x 0 + x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 = 1

x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 + 1 - 2 y 0 = 1

x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 - 2 z 0 = 0

- 2 x 0 + x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 = 0

x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 - 2 y 0 = 0

E a única solução para isso é a trivial, ou seja x 0 = y 0 = z 0 = 0 (ou seja na origem) pois x 0 + y 0 + z 0 = 2 x 0 = 2 y 0 = 2 z 0 = 2 x 0 + 2 y 0 = 0

Portando a solução para essa esfera é:

x - 0 2 + y - 0 2 + z - 0 2 = 1

Ou seja:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Resposta

x 2 + y 2 + z 2 = 1

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