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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 20a

( a ) Seja S : x 2 + y 2 + z 2 + x + 2 y - 2 z - 1 = 0 . Obtenha a equação geral da superfície esférica concêntrica com S que determina sobre r : X = 3 , - 2 , - 3 + λ ( - 1,2 , 2 ) uma corda de comprimento 3 .

( b ) Obtenha uma equação da superfície esférica de centro ( 2,3 , - 1 ) , que determina sobre a reta interseção dos planos π 1 : 5 x - 4 y + 3 z + 20 = 0 e π 2 : 3 x - 4 y + z - 8 = 0 uma corda de comprimento 16 .

Passo 1

Essa superfície S tem uma equação reduzida igual a:

x 2 + x + y 2 + 2 y + z 2 - 2 z = 1

Completando os quadrados:

x 2 + x + 1 4 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 - 2 z + 1 = 1 + 1 4 + 1 + 1

x + 1 2 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 13 4

E como o centro dessa esfera é fixo para um ρ variável (para que o comprimento dos pontos de interseção seja 3 ), logo vamos considerar a esfera como:

x + 1 2 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = ρ 2

Passo 2

Então para uma reta igual a r : X = 3 , - 2 , - 3 + λ ( - 1,2 , 2 ) nós teremos:

X = ( 3 - λ , - 2 + 2 λ ,   - 3 + 2 λ )

Aplicando esse ponto na esfera será:

3 - λ + 1 2 2 + - 2 + 2 λ + 1 2 + - 3 + 2 λ - 1 2 = ρ 2

Abrindo essa equação nós temos:

9 λ 2 - 27 λ + 117 4 - ρ 2 = 0

Então os valores de λ serão:

λ 1 ; λ 2 = 27 ± 27 2 - 4 ⋅ 9 117 4 - ρ 2 18

Portanto os pontos de tangência estão em:

X 1 ; X 2 = 3 - 3 2 ± 27 2 - 4 ⋅ 9 117 4 - ρ 2 18 , - 2 + 3 ± 27 2 - 4 ⋅ 9 117 4 - ρ 2 9 ,   - 3 + 3 ± 27 2 - 4 ⋅ 9 117 4 - ρ 2 9

Só que para ficar com um pouco mais amigável vou chamar 27 2 - 4 ⋅ 9 117 4 - ρ 2 de a . O que nos deixa com:

X 1 ; X 2 = 3 - 3 2 ± a 18 , - 2 + 3 ± a 9 ,   - 3 + 3 ± a 9

E para resolver a letra a a distância entre esses dois pontos deverá ser 3 . E lembre-se que todo esse esforço é para encontrar ρ para a esfera que causará isso com a corda.

Passo 3

d = 3 - 3 2 + a 18 - 3 + 3 2 + a 18 2 + - 2 + 3 + a 9 + 2 - 3 + a 9 2 + 2 a 9 2 = 3

d = a 2 81 + 4 a 2 81 + 4 a 2 81 = 3

3 a 9 = 3 → a = 9

Então:

27 2 - 4 ⋅ 9 117 4 - ρ 2 = 9

27 2 - 4 ⋅ 9 117 4 - ρ 2 = 81

- 1053 + 36 ρ 2 = - 648

ρ 2 = 11.25

Então a equação da esfera fica:

x + 1 2 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 1 1 . 25

Abrindo essa equação teremos:

x 2 + y 2 + z 2 + x + 2 y - 2 z - 9 = 0

Resposta

x 2 + y 2 + z 2 + x + 2 y - 2 z - 9 = 0

Ou:

x + 1 2 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 11.25

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Identificar as quádricas representadas pelas equações x 2 + y 2 + z 2 = 25
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