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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 15

Localize, em relação a superfície esférica de equação: x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 2 y - 2 z + 7 = 0 , os pontos A = ( 2 , - 1,3 ) e B = 3 , - 1,0 .

Passo 1

Dada a equação da esfera igual a:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = ρ 2

E se o ponto ( x 1 , y 1 , z 1 ) tal que

x 1 - x 0 2 + y 1 - y 0 2 + z 1 - z 0 2 = a 2

nos dá um a > ρ então esse ponto está fora da esfera e se esse ponto nos dá um a < ρ , então o ponto está dentro da esfera, logo arrumando essa equação esférica nessa segunda forma nós teremos:

x 2 - 6 x + y 2 + 2 y + z 2 - 2 z = - 7

E uma forma de x 2 - 6 x se tornar um quadrado perfeito é somando 9 nos dois lados de forma que teremos:

x - 3 2

Agora para y 2 + 2 y nós teremos que somar um pois aí:

y + 1 2

E finalmente para ( z 2 - 2 z ) ser um quadrado perfeito vamos somar 1 de forma que vamos obter:

z - 1 2

Então a equação da esfera fica:

x - 3 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = - 7 + 9 + 1 + 1 = 4

Passo 2

Aplicando então o ponto A = ( 2 , - 1,3 ) , nós vamos ter:

2 - 3 2 + - 1 + 1 2 + 3 - 1 2 = 4

1 + 0 + 2 2 = 4

5 = 4

Como 5 > 4 então o ponto A está externo a esfera.

Passo 3

E aplicando o ponto B = 3 , - 1,0 , então:

3 - 3 2 + - 1 + 1 2 + 0 - 1 2 = 4

0 + 0 + 1 = 4

E como 1 < 4 então, o ponto B é interior a esfera

Resposta

A   é   e x t e r n o   a   e s f e r a

B   é   i n t e r n o   a   e s f e r a

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