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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 26

Sendo u → e S como no Exercício Resolvido 24 - 13 , obtenha uma equação do conjunto Ω , reunião das retas paralelas a u → que determinam, com S , cordas de comprimento 3

Passo 1

O dito S do exercício 13 (o resolvido) é igual a:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

E u → será:

u → = ( 2 , - 1,1 )

E por Pitágoras conseguimos ver que há algum círculo na esfera que:

Ou:

d 2 + 3 2 2 = 1 → d = 1 2

Então a corda está distante do centro há uma distância de 1 / 2 .

Passo 2

Então queremos saber a região Ω que dista 1 / 2 do seu centro e que seja paralela ao vetor u → .

Imagine um ponto X = ( x , y , z ) que pertence a esse conjunto Ω junto com a reta paralela u → dada e considere T = m , n , p pertencente a uma esfera de raio 1 / 2 , concêntrica com a esfera S .

m , n , p = x , y , z + λ ( 2 , - 1,1 )

Aplicando esse ponto na esfera de raio 1 / 2 nós teremos:

( x + 2 λ ) 2 + ( y - λ ) 2 + ( z + λ ) 2 = 1 4

Pois devemos colocar na equação da esfera a parcela ρ 2 = 1 2 2

( x + 2 λ ) 2 + ( y - λ ) 2 + ( z + λ ) 2 - 1 4 = 0

Abrindo essa equação nós teremos:

6 λ 2 + 4 x - 2 y + 2 z λ + x 2 + y 2 + z 2 - 1 4 = 0

E fazendo o Δ dessa equação do segundo grau ser zero nós teremos:

Δ = 4 x - 2 y + 2 z 2 - 24 x 2 + y 2 + z 2 - 1 4 = 0

Simplificando esse Δ nós teremos:

Δ = 2 2 x - y + z 2 - 12 x 2 + y 2 + z 2 - 1 4 = 0

O gráfico da esfera com a região Ω deixa mais claro o que queremos.

Uma região cilíndrica concêntrica com a esfera, e que dista 1 / 2 do seu centro.

Resposta

2 2 x - y + z 2 - 12 x 2 + y 2 + z 2 - 1 4 = 0

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