Sejam S 1 e S 2 superfícies esféricas não-concêntricas, C 1 e C 2 , os respectivos centros, ρ 1 e ρ 2 , os respectivos raios, tais que ρ 2 ≥ ρ 1 . Sejam δ = d C 1 ,   C 2 e π o plano radical de S 1 e S 2 . Mostre, sem utilizar a Proposição 24-24, que ρ 2 - ρ 1 < δ < ρ 2 + ρ 1 se, e somente se, d C 1 ,   π < ρ 1 (esta é uma demonstração alternativa para a Proposição 24-24(a))

Passo 1

Vamos utilizar a expressão obtida no exercício 24-57(a):

d C 1 ,   π = δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 2 δ

Passo 2

Vamos demonstrar a ida. Se ρ 2 - ρ 1 < δ < ρ 2 + ρ 1

Dessa maneira,

ρ 2 + ρ 1 > δ ⟹ ρ 2 > δ - ρ 1 ∴ ρ 2 2 > δ 2 + ρ 1 2 + 2 δ ρ 1

ρ 2 2 - δ 2 - ρ 1 2 > 2 δ ρ 1 ⟹ 2 δ < ρ 2 2 - δ 2 - ρ 1 2 ρ 1 ⟹ 1 2 δ > ρ 1 ρ 2 2 - δ 2 - ρ 1 2

Dessa forma,

d C 1 ,   π = δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 2 δ > ρ 2 2 - δ 2 - ρ 1 2 ρ 2 2 - δ 2 - ρ 1 2 ρ 1 ⟹ d C 1 ,   π > ρ 1

Passo 3

Como todas as passagens acima são invertíveis, começando de d C 1 ,   π > ρ 1 , podemos chegar até ρ 2 - ρ 1 < δ < ρ 2 + ρ 1 , o que demonstra a volta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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