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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 63

Obtenha a equação reduzida da superfície esférica tangente ao plano π : z = 0 no ponto 1 ,   - 2 ,   0 que tangencia exteriormente à superfície esfera S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 8 y - 2 z + 1 = 0 .

Passo 1

Seja C = x 0 ,   y 0 ,   z 0 o centro da superfície esférica e seja R seu raio.

Passo 2

  1. Como a esfera é tangente a π em P = 1 ,   - 2,0 , segue que

    2. d C ,   π = d C ,   P ⟹ z 0 = x 0 - 1 2 + y 0 + 2 2 + z 0 2

    Elevando ao quadrado,

    z 0 2 = x 0 - 1 2 + y 0 + 2 2 + z 0 2 ⟺

    x 0 - 1 2 + y 0 + 2 2 = 0

    Note que para a soma de quadrado de números reais ser igual a zero, cada número deve ser igual a zero. Assim,

    x 0 - 1 = 0 ⟹ x 0 = 1

    y 0 + 2 = 0 ⟹ y 0 = - 2

    Passo 3

    Ainda para a condição i), poderíamos escrever

    d C ,   π = R ⟹ z 0 = R

    Passo 4

  2. Vamos obter a o centro e o raio de S :

x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 8 y - 2 z + 1 = 0 ⟺

x - 3 2 + y - 4 2 + z - 1 2 = 25

Portanto, temos C S = 3 ,   4 ,   1 e R S = 5 .

Para que sejam tangentes exteriormente, devemos ter

R + R S = d C ,   C S ⟹ z 0 + 5 = 3 - 1 2 + 4 + 2 2 + z 0 - 1 2

z 0 + 5 = z 0 2 - 2 z 0 + 41

Elevando ao quadrado, temos

z 0 2 + 10 z 0 + 25 = z 0 2 - 2 z 0 + 41 ∴ 10 z 0 + 2 z 0 = 16

Se z 0 > 0 , segue que

12 z 0 = 16 ⟹ z 0 = 4 3

Se z 0 < 0 , segue que

- 8 z 0 = 16 ⟹ z 0 = - 2

Logo, temos duas soluções:

x - 1 2 + y + 2 2 + z + 2 2 = 4

x - 1 2 + y + 2 2 + z - 4 3 2 = 16 9

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Imponha uma condição aos coeficientes a , b , c e d para que o plano π : a x + b y + c z + d = 0 seja tangente à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 .
Determine o centro e o raio da circunferência interseção do plano π : 2 x - 2 y - z + 9 = 0 com a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2 z - 86 = 0 .
Obtenha equações da circunferência Γ de centro G que contém os pontos A e B , nos casos: G = 1,2 , 1 , A = 2,2 , 0 , B = 1,1 , 4 G = 1,1 , 4 , A = 0,3 , 2 , B = 2,3 , 6 G = 2,1 , 1 , A = 1,0 , 2 , B =
Dado os pontos A = 3 , - 2,5 , B = - 1,6 , - 3 e P = 1 , - 4,1 , obtenha equações da circunferência de diâmetro A B que contém P