Sejam P = ( 1 ,2 ,- 1 ) , Q a projeção ortogonal de R = ( - 1 ,- 1 ,- 2 ) sobre π : x + y + z + 1 = 0 e θ a medida angular entre a reta P Q e π . Calcule cos ⁡ θ .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 18

Sejam , a projeção ortogonal de sobre e a medida angular entre a reta e . Calcule .

Passo 1

Primeiro vamos calcular o ponto .

Ele é a projeção de no plano certo? Então, dada uma reta que passe pelo ponto e pelo ponto , seu vetor diretor vai ser o vetor normal do plano . A equação dessa reta é

O ponto vai ser a intersecção dessa reta com o plano.

Passo 2

Um ponto genérico de é , substituindo na equação do plano:

Substituindo no ponto genérico , encontramos que a intersecção de e , ou seja, a projeção de em , é:

Passo 3

Agora queremos a medida angular entre e .

Temos que , e o vetor normal do plano é .

Então:

Passo 4

Opa, nós queremos o cosseno do ângulo mas encontramos o seno. Para fazermos a transformação, vamos usar a relação trigonométrica:

Ah, esse cosseno é o mesmo do gabarito do seu livro viu? Só ta escrito de forma diferente :P

Resposta

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Escreva uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto P = ( 1,1 , 1 ) e é perpendicular aos planos x+ y- 2= 0 e 3 x+ z- 8= 0 .

Determine uma equação cartesiana do plano que passa pela reta r: x + 1 2 = y 3 = z - 1 e é perpendicular ao plano 3 x- 4 y - 2 z- 1= 0 .

c) Existem retas contidas no plano π , que são reversas à reta r e distam 2 desta?

c) Escreva equações paramétricas para a reta r interseção dos planos π 1 e π 2 .

Considere os vetores V = i → + 3j → + 2k → , W = 2 i → -j → +k → e U = i → - 2 j → . Seja π um plano paralelo aos vetores W e U e r uma reta perpendicular ao plano π . Ache a projeção ortogonal do vet