Enunciado

Um agricultor costuma plantar feijão e arroz. Sua propriedade dispõe de 40ha de terra cultivável, mas apenas 20ha podem ser usados para plantar arroz. Ele tem condições de pagar 2400 horas de trabalho no verão e 1380 horas no inverno. Suas culturas apresentam as seguintes características:

Quantos hectares de feijão e quantos de arroz ele deve plantar de modo a maximizar seu lucro? (A área utilizada para plantar cada um dos cereais é a mesma em ambos os plantios.)

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Vamos definir as seguintes variáveis para o nosso problema:

X: quantidade de hectares de feijão a serem plantados.

Y: quantidade de hectares de arroz a serem plantados.

Analisando o contexto do problema temos as seguintes desigualdades:

x + y ≤ 40     ( á r e a   c u l t i v á v e l )

y ≤ 20   á r e a   m á x i m a   d e   a r r o z

30 x + 120 y ≤ 2400   h o r a s   p a g a s   n o   v e r ã o

24 x + 60 y ≤ 1380   ( h o r a s   p a g a s   n o   i n v e r n o )

Além disso, é óbvio que a quantidade de hectares de cada cereal precisa ser maior ou igual a zero, logo: x ≥ 0 ; y ≥ 0 .

Representando cada uma das retas que compõe esse sistema de desigualdades no plano cartesiano, temos a seguinte região:

Passo 2

Desejamos agora encontrar nessa região os valores para X e Y que maximizem o lucro, que é dado pela função:

L x , y = 450 x + 1 200 y

Um método prático de achar o ponto de máximo da função L consiste em calcular L(P) para todo vértice P da nossa região R e ver qual desses valores é o maior.

Observando melhor a região, conseguimos determinar quatro vértices como potenciais candidatos a maximizar o lucro, são eles: A = (0,20), B = (20,15), C = (28.33,11.67) e D = (40,0).

Calculando os Lucros, em A, B, C e D, temos que:

L A = 450 . 0 + 1 200 . 2 0 = 24000

L B = 450.20 + 1200.15 = 27000

L C = 450.2 8,33 + 1200.1 1,67 = 26750

L D = 450 . 4 0 + 1200 . 0 = 18 000

Logo, percebemos que a melhor solução é o ponto B, ou seja, para maximizar os lucros obtidos o agricultor deve plantar 20 hectares de feijão e 15 hectares de arroz.

Note que, nessa solução não é utilizada toda a área cultivável de 40 hectares. Caso o problema proposto condicionasse a resposta ao fato de que era preciso usar toda a área cultivável aí a solução ótima seria o ponto C.

Resposta

O agricultor deve plantar 20 hectares de feijão e 15 hectares de arroz.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto 6 ,3 ,2 e é perpendicular ao vetor 2 ,1 ,5 .
Determine a equação do plano que passa pelo ponto - 1,6 , - 5 e é paralelo ao plano x + y + z + 2 = 0
Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 1 , - 1,1 ) e cujo vetor normal é i + j - k .
O plano que passa pelo ponto ( - 1,2 , 1 ) e contém a reta intersecção dos planos x + y - z = 2 e 2 x - y + 3 z = 1 .
O plano que passa pela reta intersecção dos planos x - z = 1 e y + 2 z = 3 e é perpendicular ao plano x + y - 2 z = 1 .