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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 28

Determine a equação do plano que passa pelo ponto - 1,6 , - 5 e é paralelo ao plano x + y + z + 2 = 0

Passo 1

Opaa, fala ae!

Nesse exercício, basta fazer o produto escalar que ele vai dar zero e correr pro abraço!

Então, usaremos um ponto que pertença ao plano que queremos achar e um vetor normal ao mesmo, esse plano será encontrado através da fórmula:

n ∙ r - r 0 = 0

a , b , c ∙ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

O resultado é 0 porque produto escalar entre dois vetores ortogonais é 0 já que cos ⁡ θ = 0 ( θ = 90 ° ).

Passo 2

Então, precisamos de um ponto do plano e um vetor normal a ele, certo? Bem, o enunciado já nos dá o ponto r 0 = ( - 1,6 , - 5 ) . E o vetor normal??

Sabemos que o nosso plano deve ser paralelo ao plano:

x + y + z + 2 = 0

x + y + z = - 2

Então, o vetor normal a esse plano também será normal ao nosso plano!! Para saber o vetor normal do plano, só precisamos olhar para os coeficientes de x ,   y e z , que são ( 1,1 , 1 ) . Opa, então, nosso vetor normal será n → = ( 1,1 , 1 )

Passo 3

Agora, é só jogar na equação do plano!

n → ∙ r - r 0 = 0

1 x - ( - 1 ) + 1 y - 6 + 1 z - ( - 5 ) = 0

x + 1 + y - 6 + z + 5 = 0

∴

x + y + z = 0

Só isso!!

Resposta

x + y + z = 0

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Determine a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados: A 3 , - 2 , - 1e r : x + 2 y + z - 1 = 0 2 x + y - z + 7 = 0
Nos problemas de 2 a 10, determinar a equação geral do plano3) perpendicular à reta r : x = 2 y - 3 z = - y + 1 e que contém o ponto A 1 ,2 ,3 ;
Nos problemas de 2 a 10, determinar a equação geral do plano6) paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A ( 0 ,3 ,1 ) e B ( 2 ,0 ,- 1 ) ;
Seja o plano π : 2 x - y + 3 z + 1 = 0 Calcular:a) O ponto π que tem abscissa 4 e ordenada 3;
Nos problemas de 2 a 10, determinar a equação geral do plano5) mediador do segmento de extremos A ( 5 , - 1 ,4 ) e B ( - 1 ,- 7 ,1 ) ;