Determine a equação do plano que passa pelo ponto {-1,6, -5} e é paralelo ao plano x + y + z + 2 = 0

Passo 1

Opaa, fala ae!

Nesse exercício, basta fazer o produto escalar que ele vai dar zero e correr pro abraço!

Então, usaremos um ponto que pertença ao plano que queremos achar e um vetor normal ao mesmo, esse plano será encontrado através da fórmula:

n ∙ r - r 0 = 0

a , b , c ∙ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

O resultado é 0 porque produto escalar entre dois vetores ortogonais é 0 já que cos ⁡ θ = 0 ( θ = 90 ° ).

Passo 2

Então, precisamos de um ponto do plano e um vetor normal a ele, certo? Bem, o enunciado já nos dá o ponto r 0 = ( - 1,6 , - 5 ) . E o vetor normal??

Sabemos que o nosso plano deve ser paralelo ao plano:

x + y + z + 2 = 0

x + y + z = - 2

Então, o vetor normal a esse plano também será normal ao nosso plano!! Para saber o vetor normal do plano, só precisamos olhar para os coeficientes de x ,   y e z , que são ( 1,1 , 1 ) . Opa, então, nosso vetor normal será n → = ( 1,1 , 1 )

Passo 3

Agora, é só jogar na equação do plano!

n → ∙ r - r 0 = 0

1 x - ( - 1 ) + 1 y - 6 + 1 z - ( - 5 ) = 0

x + 1 + y - 6 + z + 5 = 0

x + y + z = 0

Só isso!!

Resposta

x + y + z = 0

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