Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 38
O plano que passa pela reta intersecção dos planos e e é perpendicular ao plano .
Passo 1
Olá, tudo bem? Bom, você já sabe que para determinar a equação de um plano são necessárias duas coisas:
- Ponto que pertence ao plano;
- Vetor normal ao plano.
Pois bem! Primeiro vamos determinar o ponto. Temos que ver um ponto que satisfaça essas duas equações:
Vou fixar um valor de . Por simplicidade em . Assim temos um sistema:
Daí temos o ponto que satisfaz os dois planos simultaneamente.
Aqui vou calcular a equação da reta de intersecção, pois vai ser útil quando calcularmos o vetor normal ao plano.
Outro ponto que satisfaz é com :
Assim o segundo ponto pode ser .
O vetor diretor da reta de interseção dos planos vai ser :
Assim a equação dessa reta é (vou usar ):
Passo 2
Agora precisamos calcular o vetor diretor que vai ser perpendicular ao plano. Esse vetor deve ser perpendicular ao plano dado no enunciado. Se fizermos o produto vetorial do vetor diretor da reta e do vetor normal ao plano dado, vamos obter um vetor que é ortogonal aos dois ao mesmo tempo. É isso que vamos fazer agora!
O vetor diretor da reta é e o vetor do plano do enunciado é . Assim o produto vetorial entre eles é:
Pronto! Agora temos um vetor perpendicular ao plano que queremos (item dois) e um ponto que passa pela reta, digamos . Agora é só jogar essas informações na equação do plano!
Passo 3
Eba! Estamos quase lá! Agora que temos um vetor normal ao plano e um ponto é só jogar tudo isso na equação do plano:
Lembrando que são as coordenadas do vetor normal e são as coordenadas do ponto.
E podemos deixar a resposta mais simplificada, dividindo tudo por :
Vamos pra próxima?