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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 26f

Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,   2 ) .

S = a b c d ,   a d - b c ≠ 0 (conjunto de matrizes inversíveis)

Passo 1

Pra termos um subespaço, o subconjunto precisa atender duas condições:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Isso vale pra vetores e pra matriz! Então, se duas matrizes pertencem ao subespaço, a soma delas também pertence ao subespaço, e se uma matriz pertence ao subespaço, a multiplicação dela por um escalar também pertence. Nesse caso, como essa condição ( a d - b c ≠ 0 ) é um pouco difícil de garantir, vamos tentar achar um contraexemplo, porque se conseguirmos achar um, quer dizer que não temos um subespaço.

Passo 2

Pega por exemplo as matrizes:

M = 1 0 0 1 : 1 × 1 - 0 × 0 = 1 ≠ 0 .

N = 0 1 1 0 : 0 × 0 - 1 × 1 = - 1 ≠ 0 .

Beleza, essas duas atendem a condição do enunciado. Vamos ver se a soma delas atende!

Passo 3

A soma vai ficar:

M + N = 1 0 0 1 + 0 1 0 1

M + N = 1 1 1 1

Pra essa matriz, temos:

1 × 1 - 1 × 1 = 0

Opa! Deu ruim! As duas atendem a condição de serem inversíveis, mas a soma delas não é. Bom, achamos um contraexemplo, e basta ele pra vermos que não é um subespaço!

Resposta

Não é subespaço.

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Mostre que V 1 , … , V k subconjunto de um espaço vetorial VeV 1 , V 2 - V 1 , … , V k - V 1 geram o mesmo subespaço de V .
Sejam X um subconjunto de um espaço vetorial V e Y um conjunto obtido de X substituindo-se um de seus elementos V por V + α U , para U ∈ X e α ∈ R . Mostre que X = [ Y ] .
Seja X um conjunto de polinômios em que quaisquer dois polinômios pertencentes a X têm graus diferentes. Mostre que X e linearmente independente.
Sejam XeY dois subconjuntos linearmente independentes de um espaço vetorial V . Mostre que X∪ Y é linearmente independente se, e somente se, X ∩ Y = { 0 - } .
Seja V um espaço vetorial. a) Mostre que se X 1 ⊆ X 2 ⊆ VeX 1 é linearmente dependente, então X 2 e linearmente dependente.b) Mostre que se X 1 ⊆ X 2 ⊆ VeX 2 é linearmente independente, então X 1 e li