Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,   2 ) .

S = a b c d ,   a d - b c ≠ 0 (conjunto de matrizes inversíveis)

Passo 1

Pra termos um subespaço, o subconjunto precisa atender duas condições:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Isso vale pra vetores e pra matriz! Então, se duas matrizes pertencem ao subespaço, a soma delas também pertence ao subespaço, e se uma matriz pertence ao subespaço, a multiplicação dela por um escalar também pertence. Nesse caso, como essa condição ( a d - b c ≠ 0 ) é um pouco difícil de garantir, vamos tentar achar um contraexemplo, porque se conseguirmos achar um, quer dizer que não temos um subespaço.

Passo 2

Pega por exemplo as matrizes:

M = 1 0 0 1 : 1 × 1 - 0 × 0 = 1 ≠ 0 .

N = 0 1 1 0 : 0 × 0 - 1 × 1 = - 1 ≠ 0 .

Beleza, essas duas atendem a condição do enunciado. Vamos ver se a soma delas atende!

Passo 3

A soma vai ficar:

M + N = 1 0 0 1 + 0 1 0 1

M + N = 1 1 1 1

Pra essa matriz, temos:

1 × 1 - 1 × 1 = 0

Opa! Deu ruim! As duas atendem a condição de serem inversíveis, mas a soma delas não é. Bom, achamos um contraexemplo, e basta ele pra vermos que não é um subespaço!

Resposta

Não é subespaço.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados