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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 26c

Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,   2 ) .

S = a b b c ,   a , b , c ∈ R (matrizes simétricas).

Passo 1

Lembra sempre das propriedades do subespaço:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Essas propriedades valem tanto pra vetores quanto pra matrizes! As propriedades de subespaço são idênticas! Então, se duas matrizes pertencem ao subespaço, a soma delas também pertence ao subespaço, e se uma matriz pertence ao subespaço, a multiplicação dela por um escalar também pertence.

Vamos pegar duas matrizes simétricas genéricas pra testar as propriedades:

M = a b b c

N = d e e f

Passo 2

A soma das matrizes vai ficar:

M + N = a b b c + d e e f

M + N = a + d b + e b + e c + f

Essa aí está no subconjunto, já que também é simétrica! Então a soma está no subconjunto.

Passo 3

Na multiplicação por escalar, vamos ter:

α M = α a b b c

α M = α a α b α b α c

Continua simétrica! Então valeram as duas propriedades, por isso o subconjunto das matrizes simétricas é um subespaço.

Resposta

É um subespaço.

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