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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 11

O ângulo A ^ do triângulo isósceles A B C mede 120 ° . Sabendo que A = 1,1 , 1 e que B C está contida na reta r : X = 2,1 , 0 + λ 1 , - 1,0 , determine B e C e o comprimento da altura relativa ao vértice A .

Passo 1

Como B e C estão sob a reta r , então poderemos escrever suas coordenadas em função do parâmetro real λ . Assim, suas coordenadas valerão 2 + λ ,   1 - λ ,   0 .

Sabemos que o triângulo A B C é isósceles. Como A ^ = 120 ° , segue que B ^ = C ^ e

120 ° + B ^ + C ^ = 180 ° ∴ 120 ° + B ^ + B ^ = 180 ° ∴ 2 B ^ = 60 ° ⟹ B ^ = 30 °

Passo 2

Agora, façamos o produto escalar entre o vetor diretor da reta B C e o vetor A B → :

A B → ⋅ 1 , - 1,0 = A B → 1 , - 1,0 cos ⁡ 30 °

onde

A B → = B - A = 2 + λ ,   1 - λ , 0 - 1,1 , 1 = 1 + λ , -   λ ,   - 1

Segue que

1 + λ , -   λ , - 1 ⋅ 1 , - 1,0 = 1 + λ 2 + - λ 2 + - 1 2 ⋅ 1 2 + - 1 2 + 0 2 ⋅ 3 2

1 + λ ⋅ 1 + - λ - 1 + 1 ⋅ 0 = 1 + 2 λ + λ 2 + λ 2 + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 2

1 + 2 λ = 6 2 ⋅ 2 λ 2 + 2 λ + 2

1 + 2 λ = 3 ⋅ λ 2 + λ + 1

Passo 3

Elevando os dois membros ao quadrado, segue que

1 + 4 λ + 4 λ 2 = 3 λ 2 + λ + 1 ∴ λ 2 + λ - 2 = 0

Cujas raízes são λ = 1 ou λ = - 2 . Note que obtivemos dois valores para λ . Isso significa que já encontramos B e C . Assim, as coordenadas desses pontos serão:

2 + 1 ,   1 - 1 ,   0 = 3 ,   0 ,   0

2 - 2 ,   1 - - 2 ,   0 = 0 ,   3 ,   0

Note que tanto faz qual é o ponto B e qual o ponto C ! É tudo uma questão de perspectiva.

Passo 4

Uma das maneiras de se calcular o comprimento da altura relativa é usando trigonometria básica:

sin ⁡ 30 ° = H ‖ A B → ‖ ⟹ H = 1 2 A B →

Como vimos acima A B → = 2 λ 2 + 2 λ + 2 . Logo, para λ = 1

H = 1 2 2 1 2 + 2 1 + 2 = 1 2 2 + 2 + 2 = 6 2

ou para λ = - 2 :

H = 1 2 2 - 2 2 + 2 - 2 + 2 = 1 2 8 - 4 + 2 = 6 2

Note que as respostas coincidem!!! Você esperava por isso?

Resposta

Coordenadas 3,0 , 0 e 0 ,   3 ,   0 ; altura 6 2 .

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