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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 09

A diagonal B C de um quadrado A B C D está contida na reta r : X = 1,0 , 0 + λ 0,1 , 1 . Conhecendo A = 1,1 , 0 , determine os outros três vértices. (Este é o exercício 17-8; resolva-o agora usando medida angular).

Passo 1

Temos um quadrado A B C D onde conhecemos o vértice A e a equação da reta que contém a diagonal C B . Queremos determinar as coordenadas de C ,   B e D .

Inicialmente, podemos calcular as coordenadas de B e C . Como? Podemos utilizar o seguinte raciocínio: conhecendo a equação da reta que contém B e C , podemos escrever suas coordenadas como 1 + 0 λ , 0 + λ ,   0 + λ = 1 , λ   ,   λ para λ real. Nosso objetivo agora será calcular o valor de λ .

Passo 2

Como B C é uma diagonal do quadrado, se fizermos o produto escalar do vetor diretor da reta B C por B A → , teremos:

A B → ⋅ 0 ,   1 ,   1 = A B → ⋅ 0 ,   1 ,   1 cos ⁡ 45 °

pois o ângulo entre a diagonal do quadrado e qualquer um de seus lados é 45°. Como:

A B → = B - A = 1 ,   λ ,   λ - 1 ,   1 ,   0 = 0 ,   λ - 1 ,   λ

segue que:

0 ,   λ - 1 ,   λ ⋅ 0 ,   1 ,   1 = 0 ,   λ - 1 ,   λ ⋅ 0 ,   1 ,   1 ⋅ cos ⁡ 45 °

0 ⋅ 0 + λ - 1 ⋅ 1 + λ ⋅ 1 = 0 2 + λ - 1 2 + λ 2 ⋅ 0 2 + 1 2 + 1 2 ⋅ 1 2

2 λ - 1 = λ - 1 2 + λ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 2

2 λ - 1 = λ 2 - 2 λ + 1 + λ 2 ⟹ 2 λ - 1 = 2 λ 2 - 2 λ + 1

Passo 3

Vamos elevar a equação acima ao quadrado (para eliminar a raiz)

2 λ - 1 2 = 2 λ 2 - 2 λ + 1 2 ∴ 4 λ 2 - 4 λ + 1 = 2 λ 2 - 2 λ + 1

2 λ 2 - 2 λ = 0 ∴ 2 λ λ - 1 = 0 ⟹ λ = 0 o u λ = 1

Note que obtemos dois valores de λ ! Isso significa que obtemos os valores das coordenadas de B e C !!! Lembrando que as coordenadas dos vértices valem 1 ,   λ ,   λ , basta substituir os valores encontrados acima. Portanto, as coordenadas de B e C serão:

1 ,   0 ,   0               ;                   1,1 , 1

Note que tanto faz qual dos pontos acima é B ou C ! É tudo uma questão de orientação.

Passo 4

O vértice D pode ser obtido de uma maneira muito simples! Lembre-se que dois vetores são equipolentes quando eles possuem a mesma direção, sentido e módulo. Pelas propriedades geométricas do quadrado, vemos que A B → e C D → são vetores equipolentes. Assim, podemos escrever:

A B → = C D → ∴ B - A = D - C ∴ D = B + C - A

D = 1,0 , 0 + 1,1 , 1 - 1,1 , 0 = 1,0 , 1

Resposta

Os pontos possuem coordenadas 1,0 , 0 , 1,1 , 1 e 1,0 , 1 .

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