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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 15

S e j a   T   :   R ²   →   R ² uma transformação linear invertível. Mostre que T transforma retas paralelas em retas paralelas, portanto paralelogramos em paralelogramos. E losangos?

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Este exercício vai requerer um pouco mais de domínio algébrico, já que o mesmo se trata de uma demonstração.

Preparado?

Sabemos que o paralelogramo geral em R ² pode ser descrito como q   =   p   + λ   v   + μ w , com v   ,   w linearmente independente e λ   ,   μ   ∈   (   0   ,   1   ) . Queremos mostrar que:

Onde v '   = ( a 11 v 1 + a 12 v 2 , a 2 1 v 1 + a 22 v 2 ) ,   w ' =     a 11 w 1 + a 12 w 2 , a 21 w 1 + a 22 w 2 são linearmente independentes.

Suponha, então,

α 0 V ' + α 2 v 2 , a 21 W ' = 0

Isso implica que:

Desde A é invertível, a equação A x   =   0 tem apenas soluções triviais. Mas α 0 V + α 1 W   ≠   0 Porque v   ,   w são por definição linearmente independentes. Por isso, T   também é um paralelogramo.

Prontinho, acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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