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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 17

Seja T   :   R 4   →   R 3 a transformação linear dada pela fórmula

T x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 = ( 4 x 1 + x 2 - 2 x 3 - x 4 ,   2 x 1 + x 2 + x 3 - 4 x 4 , 6 x 1 - 9 x 3 + 9 x 4 )

Em cada caso, decida se o vetor está em N u c ( T ) .

  1. ( 3 ,   - 8 ,   2 ,   0 )

  2. ( 0 ,   0 ,   0 ,   1 )

  3. ( 0 ,   - 4 ,   1 ,   0 )

Passo 1

  1. Vamos lá! Seja uma transformação, o seu núcleo é composto por todos os vetores que quando sofrem transformação se tornam o vetor nulo, tal que:

    N u c T → T x = 0 .

    Nossa transformação é dada por:

    T x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 = ( 4 x 1 + x 2 - 2 x 3 - x 4 ,   2 x 1 + x 2 + x 3 - 4 x 4 , 6 x 1 - 9 x 3 + 9 x 4 )

    T 3 ,   - 8 ,   2 ,   0 = 12 - 8 - 4 ,   6 - 8 + 2 - 0 ,   18 - 18 = 0 ,   0 ,   0 ,   0

    Logo 3 ,   - 8 ,   2 ,   0 está em N u c T .

    Passo 2

  2. Vamos lá! Seja uma transformação, o seu núcleo é composto por todos os vetores que quando sofrem transformação se tornam o vetor nulo, tal que:

    N u c T → T x = 0 .

    Nossa transformação é dada por:

    T x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 = ( 4 x 1 + x 2 - 2 x 3 - x 4 ,   2 x 1 + x 2 + x 3 - 4 x 4 , 6 x 1 - 9 x 3 + 9 x 4 )

    T 0 ,   0 ,   0 ,   1 = - 1 ,   - 4 ,   9 ≠ 0 ,   0 ,   0 ,   0

    Logo 0 ,   0 ,   0 ,   1 não está em N u c T .

    Passo 3

Vamos lá! Seja uma transformação, o seu núcleo é composto por todos os vetores que quando sofrem transformação se tornam o vetor nulo, tal que:

N u c T → T x = 0 .

Nossa transformação é dada por:

T x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 = ( 4 x 1 + x 2 - 2 x 3 - x 4 ,   2 x 1 + x 2 + x 3 - 4 x 4 , 6 x 1 - 9 x 3 + 9 x 4 )

T 0 ,   - 4 ,   1 ,   0 = - 6 ,   - 3 ,   - 9 ≠ 0 ,   0 ,   0 ,   0

Logo 0 ,   - 4 ,   1 ,   0 não está em N u c T .

Resposta

  1. Está em N u c T .

  2. Não está em N u c T .

  3. Não está em N u c T .
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