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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 20

Encontre uma base do núcleo.

  1. T (x , y) = ( 2 x - y , - 8 x + 4 y )

  2. T (x_1 , x_2 , x_3 , x_4) = ( 4 x_1 + x_2 - 2 x_3 - 3 x_4 , 2 x_1 + x_2 + x_3 - 4 x_4 , 6 x_1 - 9 x_3 + 9 x_4 )

  3. T (p (x)) = x p (x)

Passo 1

Vamos lá! Antes de começarmos vamos lembrar que o núcleo de uma transformação é composto por todos os vetores que quando sofrem transformação se tornam o vetor nulo, tal que:

N u c (T) -> T (x) = {0} .

  1. Assim, na letra a) a nossa transformação é dada por:

    2. T (x , y) = ( 2 x - y , - 8 x + 4 y )

    Como queremos achar o vetor nulo, queremos o conjunto de todos os vetores que ao sofrer a transformação vire o vetor nulo, ou seja:

    T (x , y) = (2 x - y , - 8 x + 4 y) = (0 , 0)

    Beleza?!

    Agora vamos fazer as contas!

    Temos que:

    {[[2 x - y = 0],[- 8 x + 4 y = 0]])

    x = (y)/(2)

    Logo a base do nosso núcleo é:

    [N u c (T)] = (x , 2 x)

    Que vai ser o conjunto de todos os vetores que levam no vetor nulo! Show de bola?!

    Passo 2

  2. Vamos lá! Na aqui a transformação é um pouco maiorzinha e dá uma preguicinha, mas bora cair pra dentro! Foca no 10!!

    3. Temos que a nossa transformação é dada por:

    T (x_1 , x_2 , x_3 , x_4) = ( 4 x_1 + x_2 - 2 x_3 - 3 x_4 , 2 x_1 + x_2 + x_3 - 4 x_4 , 6 x_1 - 9 x_3 + 9 x_4 )

    Como queremos achar o vetor nulo, queremos o conjunto de todos os vetores que ao sofrer a transformação vire o vetor nulo, ou seja:

    T (x_1 , x_2 , x_3 , x_4) = ( 4 x_1 + x_2 - 2 x_3 - 3 x_4 , 2 x_1 + x_2 + x_3 - 4 x_4 , 6 x_1 - 9 x_3 + 9 x_4 ) = (0 , 0)

    Beleza?

    Agora partindo pras continhas, temos que:

    {[[4 x_1 + x_2 - 2 x_3 - 3 x_4 = 0],[2 x_1 + x_2 + x_3 - 4 x_4 = 0],[6 x_1 - 9 x_3 + 9 x_4 = 0]])

    Resolvendo esse sisteminha, ficamos com

    x_1 = (3 x_3)/(2) - (3 x_4)/(2)

    x_2 = - 4 x_3 + 7 x_4

    x_3 = x_3

    x_4 = x_4

    Logo a base do nosso núcleo é:

    [N u c (T)] = ((3 x_3)/(2) - (3 x_4)/(2) , - 4 x_3 + 7 x_4 , x_3 , x_4)

    Showzin?!

    Passo 3

  3. Aqui se você reparar estamos lidando com polinômios, beleza?

Nossa transformação é dada por:

T (x) = x p (x)

Onde T : P_2 -> P_3 . Assim,

T (a x^2 + b x + c) = x * p (a x^2 + b x + c) = a x^3 + b x^2 + c x

Aqui se você reparar só temos uma única possibilidade pro nosso sistema pra x != 0 que é:

a = 0 , b = 0 , c = 0

Logo a base do nosso núcleo é:

[N u c (T)] = (0 , 0 , 0)

Beeleza?!

Resposta

  1. [N u c (T)] = (x , 2 x) .

  2. [N u c (T)] = ((3 x_3)/(2) - (3 x_4)/(2) , - 4 x_3 + 7 x_4 , x_3 , x_4) .

  3. [N u c (T)] = (0 , 0 , 0) .
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