Seja R :   R ²   →   R ² uma rotação em torno da origem. Use as equações que dão as coordenadas de R v   para mostrar que < R u ,   R v >   =   < u ,   v > e | R v |   =   | v | para quaisquer   u ,   v   ∈   R ² .

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Este exercício é bem longo e vai requerer um pouco mais de domínio algébrico, já que o mesmo se trata de uma demonstração.

Preparado?

Então temos um operador descrito como R   :   R ²   →   R ² , que leva cada vetor v no vetor   R ( v ) que dele resulta pela rotação de ângulo θ em torno da origem.

Podemos observar a imagem abaixo e com ela perceber que R ( u + v )   =   R ( u )   + R ( v ) .

Assim como R ( α v )   =   α R v para v   ∈   R ²   e   α   ∈   R

Para um vetor v   =   ( x ,   y )   ∈   R ² arbitrário, seja R ( v )   =   ( x '   ,   y '   ) . Sabemos que existe uma matriz A associada a transformação R , tal que R ( v )   =   ( A v t ) t   , temos que A   ∈   M ( 2   ×   2 ). Queremos então determinar a matriz:

a b c d = A

onde R ( e 1 )   =   ( a ,   c ) e R ( e 2 )   =   ( b , d ) , com e 1   =   ( 1,0 )   e   e 2   =   ( 0,1 ) .

Até aí tranquilo?

Calma a questão é chata mas tá quase acabando!

Passo 2

Sabendo das definições de seno e cosseno o vetor unitário R ( e 1 ) , que forma com e 1 um ângulo θ tem coordenadas c o s θ   e   s e n θ , ou seja, R ( e 1 )   =   ( c o s θ , s e n θ ) . Além disso, como e 2 forma com e 1 um ângulo reto, R ( e 2 ) também forma com R ( e 1 ) um ângulo reto.

Logo R ( e 2 )   =   ( - s e n θ ,   c o s θ )

Para melhor entender vamos focar na imagem abaixo:

Portanto, a rotação R :   R ²   →   R ² leva um vetor v   =   ( x ,   y ) no vetor R ( v )   =   ( A v t ) t =   ( x '   ,   y '   ) .     Onde :

c o s θ - s e n θ s e n θ c o s θ = A

Logo teremos que:

A v t =   c o s θ - s e n θ s e n θ c o s θ   . x y = x c o s θ - y s e n θ x s e n θ + y c o s θ

Ou seja

x c o s θ - y s e n θ =   x ' x s e n θ + y c o s θ =   y '

A matriz de R relativa à base canônica de R ² é portanto a matriz A .

Prontinho, acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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