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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 4.Exercício - Ex. 13

13. Baricentro dos pontos   A 1   ,     A 2   e   A 3   é, por definição, o ponto G que verifica G A 1 → + G A 2 → + G A 3   → = 0 → . Prove que, dado um ponto O qualquer ,   G = O + ( O A 1 →   +   O A 2 →   +   O A 3 → ) / 3 . Estando o conceito e o resultado para n pontos. Compare com o exercício 3-17.Earxamine o caso particular de dois pontos.

Passo 1

Começaremos com a expressão G A 1 → + G A 2 → + G A 3   → = 0 →

Porém reescreveremos:

G A 1 → = G O → + O A 1 →

G A 2 → = G O → + O A 2 →

G A 3 → = G O → + O A 3 →

Substituindo na expressão G A 1 → + G A 2 → + G A 3   → = 0 →

G O → + O A 1 → + G O → + O A 2 → + G O → + O A 3 → = 0 →

3 G O → + O A 1 → + O A 2 → + O A 3 → = 0 →

O A 1 → + O A 2 → + O A 3 → = - 3 G O →

Porém - 3 G O → = 3 O G →

O A 1 → + O A 2 → + O A 3 → = 3 O G →

Dividindo por 3 :

O A 1 → + O A 2 → + O A 3 → 3 = O G →

Então, pela definição de soma de ponto com vetor, temos:

G = O + O A 1 → + O A 2 → + O A 3 → 3

Provamos então, aquilo que queríamos

Passo 2

Agora vamos fazer para n pontos! Não muda nada, a ideia a mesma!!

G A 1 → + G A 2 → + G A 3 → + … + G A n   → = 0 →

E reescreveremos esses vetores, conforme fizemos no passo 1.

G A 1 → = G O → + O A 1 →

G A 2 → = G O → + O A 2 →

G A 3 → = G O → + O A 3 →

...

G A n → = G O → + O A n →

Somando todos esses vetoroes, temos:

G A 1 → + G A 2 → + G A 3 → + … + G A n   → =   G O → + G O → + G O → + … + G O → + O A 1 → + O A 2 → + O A 3 → + … + O A n →

Temos n parcelas da soma G O → + G O → + G O → + … + G O → = n G O → :

G A 1 → + G A 2 → + G A 3 → + … + G A n   → = n G O → + O A 1 → + O A 2 → + O A 3 → + … + O A n →

Então podemos afirmar qu

n G O → + O A 1 → + O A 2 → + O A 3 → + … + O A n → = 0 →

O A 1 → + O A 2 → + O A 3 → + … + O A n → = - n G O →

Porém - n G O → = n O G →

O A 1 → + O A 2 → + O A 3 → + … + O A n → = n O G →

O A 1 → + O A 2 → + O A 3 → + … + O A n → / n = O G →

Então pela definição de soma e ve

G = O + O A 1 → + O A 2 → + O A 3 → + … + O A n → / n

Passo 3

Para dois pontos, temos:

G = O + ( O A 1 → + O A 2 → ) / 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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