Em cada caso, enctontre uma base do subespaço de P 2 gerado pelos vetores dados:

  1. - 1 + x - 2 x 2 ,   3 + 3 x + 6 x 2 , 9
  2. 1 + x ,   x 2 , - 2 + 2 x 2 , - 3 x
  3. 1 + x - 3 x 2 , 2 + 2 x - 6 x 2 ,   3 + 3 x - 9 x 2

Passo 1

Item A)

Temos o seguinte subespaço:

s a = { - 1 + x - 2 x 2 ,   3 + 3 x + 6 x 2 , 9 }

Todos os vetores são linearmente independentes, então podemos utilizar a base polinomial elementar:

S a = { 1 x x 2 }

Passo 2

Item B)

Temos o seguinte subespaço:

s b = { 1 + x , x 2 , - 2 + 2 x 2 , - 3 x }

Temos 4 vetores, mas a base é formada por 3 vetores linearmente independentes. Vamos assumir 1 + x e x 2 como bases, então perceba como os outros dois vetores podem ser formados por combinação linear de 1 + x e 1 - x

- 2 1 - x 1 + x = - 2 + 2 x 2

3 2 1 - x - 1 + x = - 3 x

Então a base será:

S B = { 1 + x 1 - x x 2 }  

Passo 3

Item C)

Temos o seguinte subespaço:

s C = { 1 + x - 3 x 2 , 2 + 2 x - 6 x 2 ,   3 + 3 x - 9 x 2 }

Note que todos os três vetores são múltiplos escalares entre si. Então a base deste subespaço é qualquer um destes vetores.

S C = 1 + x - 3 x 2

Resposta

  1. S a = 1 x x 2
  2. S B = 1 + x 1 - x x 2
  3. S C = 1 + x - 3 x 2
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