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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 20

Em cada caso, enctontre uma base do subespaço de P 2 gerado pelos vetores dados:

  1. - 1 + x - 2 x 2 ,   3 + 3 x + 6 x 2 , 9
  2. 1 + x ,   x 2 , - 2 + 2 x 2 , - 3 x
  3. 1 + x - 3 x 2 , 2 + 2 x - 6 x 2 ,   3 + 3 x - 9 x 2

Passo 1

Item A)

Temos o seguinte subespaço:

s a = { - 1 + x - 2 x 2 ,   3 + 3 x + 6 x 2 , 9 }

Todos os vetores são linearmente independentes, então podemos utilizar a base polinomial elementar:

S a = { 1 x x 2 }

Passo 2

Item B)

Temos o seguinte subespaço:

s b = { 1 + x , x 2 , - 2 + 2 x 2 , - 3 x }

Temos 4 vetores, mas a base é formada por 3 vetores linearmente independentes. Vamos assumir 1 + x e x 2 como bases, então perceba como os outros dois vetores podem ser formados por combinação linear de 1 + x e 1 - x

- 2 1 - x 1 + x = - 2 + 2 x 2

3 2 1 - x - 1 + x = - 3 x

Então a base será:

S B = { 1 + x 1 - x x 2 }  

Passo 3

Item C)

Temos o seguinte subespaço:

s C = { 1 + x - 3 x 2 , 2 + 2 x - 6 x 2 ,   3 + 3 x - 9 x 2 }

Note que todos os três vetores são múltiplos escalares entre si. Então a base deste subespaço é qualquer um destes vetores.

S C = 1 + x - 3 x 2

Resposta

  1. S a = 1 x x 2
  2. S B = 1 + x 1 - x x 2
  3. S C = 1 + x - 3 x 2
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Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M 2,2 . Em caso afirmativo exiba geradores. V = a b c dc o ma , b , c , d ∈ Reb = c W = { a b c dc o ma , b , c , d ∈ Reb = c + 1 }
Seja V o espaço vetorial R n , definido no Exemplo 2 de 4.2.2. Qual é o vetor nulo de V e o que é - ( x 1 , x 2 , … , x n ) ? Seja W = M ( 2,2 ) (veja 4.2.2 Exemplo 3 i )) descreva o vetor nulo e veto
Seja W o subespaço de M ( 3,2 ) gerado por 0 0 1 1 0 0 ,0 1 0 - 1 1 0e0 1 0 0 0 0. O vetor 0 2 3 4 5 0 pertence a W ?
Seja W o subespaço de M ( 2,2 ) definido por W = 2 a a + 2 b 0 a - b : a , b ∈ R 0 - 2 0 1 ∈ W ? 0 2 3 1 ∈ W ?
Mostre que os polinômios 1 - t 3 ,1 - t 2 ,1 - t e 1 geram o espaço dos polinômios de grau ≤ 3 .