Em cada caso, mostre que A não é hermitiana para qualquer escolha dos sinais × .

a 1 i 2 - 3 i - i - 3 × 2 - 3 i × ×

b × × 3 + 5 i 0 i - i 3 - 5 i i ×

Passo 1

Vamos reescrever cada × como sendo um número complexo genérico. Assim, vamos poder reescrever nossa matriz como sendo

1 i 2 - 3 i - i - 3 x 1 + i y 1 2 - 3 i x 2 + i y 2 x 3 + i y 3

Da definição 1 temos que A - é a matriz conjugada de A então

A - = - 1 - i 2 + 3 i i 3 x 1 - i y 1 2 + 3 i x 2 - i y 2 x 3 - i y 3

Além disso, temos que encontrar a matriz A * que é dada por A * = A - t   então

A * = - 1 i 2 + 3 i - i 3 x 2 - i y 2 2 + 3 i x 1 - i y 1 x 3 - i y 3

Para que a matriz seja hermitiana devemos ter que A = A * , mas para nosso caso vamos ter que A 13 ≠ A 31 * . Portanto, independente da escolha de × ela será não hermitiana.

Passo 2

Procedendo da mesma maneira para a segunda matriz vamos ter

A = x 1 + i y 1 x 2 + i y 2 3 + 5 i 0 i - i 3 - 5 i i x 3 + i y 3

Da definição 1 temos que A - é a matriz conjugada de A então

A - = x 1 - i y 1 x 2 - i y 2 3 - 5 i 0 - i i 3 + 5 i - i x 3 - i y 3

Além disso, temos que encontrar a matriz A * que é dada por A * = A - t   então

A * = x 1 - i y 1 0 3 + 5 i x 2 - i y 2 - i - i 3 - 5 i i x 3 - i y 3

Para que a matriz seja hermitiana devemos ter que A = A * , mas para nosso caso vamos ter que A 22 ≠ A 22 * . Portanto, independente da escolha de × ela será não hermitiana.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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