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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 35

  1. Mostre que se a 1 , a 2 ,   b 1 , b 2 forem escalares quaisquer, então a fórmula

    2. F x , y = a 1 x + b 1 y ,   a 2 x + b 2 y

    Define um operador linear de R 2

  2. A fórmula F x , y = ( a 1 x 2 + b 1 y 2 ,   a 2 x 2 + b 2 y 2 ) define um operador linear de R 2 ? Explique

Passo 1

Item A)

Um operador linear é uma transformação linear cujo domínio coincide com o contradomínio. No nosso caso, temos um operador linear R 2 em R 2

F x , y = a 1 x + b 1 y ,   a 2 x + b 2 y

Vamos considerar a operação:

k x 1 , y 1 + m x 2 , y 2 = k x 1 + m x 2 , k y 1 + m y 2

Vamos aplicar a transformação linear dos dois lados:

F k x 1 , y 1 + m x 2 , y 2 = F k x 1 + m x 2 , k y 1 + m y 2 F k x , y = a 1 k x 1 + m x 2 + b 1 k y 1 + m y 2 , a 2 k x 1 + m x 2 + b 2 k y 1 + m y 2 F k x , y = a 1 k x 1 + a 1 m x 2 + b 1 k y 1 + b 1 m y 2 , a 2 k x 1 + a 2 m x 2 + b 2 k y 1 + b 2 m y 2 F k x , y = a 1 k x 1 + b 1 k y 1 + a 1 m x 2 + b 1 m y 2 , a 2 k x 1 + b 2 k y 1 + a 2 m x 2 + b 2 m y 2 F k x , y = k ( a 1 x 1 + b 1 y 1 ) + m ( a 1 x 2 + b 1 y 2 ) , k ( a 2 x 1 + b 2 y 1 ) + m ( a 2 x 2 + b 2 y 2 )

Podemos separar os os vetores:

F k x , y = k a 1 x 1 + b 1 y 1 , k a 2 x 1 + b 2 y 1 + m a 1 x 2 + b 1 y 2 , m a 2 x 2 + b 2 y 2 F k x , y = k a 1 x 1 + b 1 y 1 , a 2 x 1 + b 2 y 1 + m a 1 x 2 + b 1 y 2 , a 2 x 2 + b 2 y 2  

Logo:

F k x 1 , y 1 + m x 2 , y 2 = k F ( x 1 , y 1 ) + m F ( x 2 , y 2 )

Isso prova que F ( x , y ) é uma operação linear.

Passo 2

Item B)

Define, pois é a mesma expressão do item A

Resposta

  1. F ( x , y ) é uma operação linear
  2. Define uma operação linear.
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