Nos Exercícios 7-8, verifique que os autovalores de são reais e que os autovetores de autoespaços diferentes são ortogonais, de acordo com o Teorema 7.5.3.

7.

Agora vamos achar os autovetores:

Pra :

Olhaaa... a gente não tem solução única pra esse sistema... sabe por que????? Vou te dizer, então. Pra gente achar os autovalores a gente calcula o determinante e igual a zero. E lembra que pra o sistema ter solução única o determinante tem que ser diferente de zero??? Pois é.

Vamos então chamar:

E:

Substituindo :

O autovetor fica, então:

E a base do autoespaço: .

Pra :

Chamando:

E:

Substituindo :

O autovetor fica:

E a base do autoespaço:

Agora vamos fazer o produto interno com os autovetores pra saber se eles realmente são ortogonais. (só lembra que o produto interno com números complexos não é só multiplicar um pelo outro... é multiplicar pelo conjugado...)

Que notícia maravilhosa.

Então são ortogonais, como queríamos demonstrar.