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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 44c

Descreva geometricamente a cúbica e as quárticas:

  1. omega : x^3 + y^3 = 0
  2. omega : x^4 = 1
  3. omega : x^4 + 2 x^2 z + z^2 - y^4 = 0

Passo 1

A dica para resolver esta questão é fatorar as equações. Ao reduzirmos ao máximo, conseguiremos identificar o significado de cada termo. Portanto, temos:

x^4 + 2 x^2 z + z^2 - y^4 = 0

Podemos fatorar a equação acima da seguinte forma:

(x^4 + 2 x^2 z + z^2) - y^4 = 0

(x^2 + z)^2 - y^4 = 0

Fatorando novamente, temos:

(x^2 + z + y^2) * (x^2 + z - y^2) = 0

Portanto, temos duas opções: x^2 + z + y^2 = 0 ou x^2 + z - y^2 = 0

Da nossa primeira opção, temos:

x^2 + z + y^2 = 0

omega_1 : - x^2 - y^2 = z

O que consiste em um paraboloide de rotação. Já a nossa segunda opção é:

x^2 + z - y^2 = 0

omega_2 : - x^2 + y^2 = z

O que consiste em um paraboloide hiperbólico.

Portanto, a solução desta quártica é a união das superfícies omega_1 : - x^2 - y^2 = z e omega_2 : - x^2 + y^2 = z , um paraboloide de rotação e um paraboloide hiperbólico.

Resposta

A solução desta quártica é a união das superfícies omega_1 : - x^2 - y^2 = z e omega_2 : - x^2 + y^2 = z , um paraboloide de rotação e um paraboloide hiperbólico.

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Adapte ao paraboloide elíptico o método que utilizamos para esboçar o paraboloide hiperbólico.
Prove, em cada caso, que a equação dada descreve uma quádrica cônica.(a) x 2 - y 2 + z 2 - 4 x - 6 y - 2 z - 4 = 0
Identifique a quádrica descrita pela equação dada.(d) y 2 + 2 y z + z 2 + y - z - 2 = 0
Prove que Ω : z = 8 x 2 - 2 x y + 8 y 2 é um paraboloide elíptico e faça um esboço.
Identifique a quádrica descrita pela equação dada.(c) - 10 + 8 x - 8 z - x 2 + 6 x z - z 2 = 0