Descreva geometricamente a cúbica e as quárticas:

  1. omega : x^3 + y^3 = 0
  2. omega : x^4 = 1
  3. omega : x^4 + 2 x^2 z + z^2 - y^4 = 0

Passo 1

A dica para resolver esta questão é fatorar as equações. Ao reduzirmos ao máximo, conseguiremos identificar o significado de cada termo. Portanto, temos:

x^4 + 2 x^2 z + z^2 - y^4 = 0

Podemos fatorar a equação acima da seguinte forma:

(x^4 + 2 x^2 z + z^2) - y^4 = 0

(x^2 + z)^2 - y^4 = 0

Fatorando novamente, temos:

(x^2 + z + y^2) * (x^2 + z - y^2) = 0

Portanto, temos duas opções: x^2 + z + y^2 = 0 ou x^2 + z - y^2 = 0

Da nossa primeira opção, temos:

x^2 + z + y^2 = 0

omega_1 : - x^2 - y^2 = z

O que consiste em um paraboloide de rotação. Já a nossa segunda opção é:

x^2 + z - y^2 = 0

omega_2 : - x^2 + y^2 = z

O que consiste em um paraboloide hiperbólico.

Portanto, a solução desta quártica é a união das superfícies omega_1 : - x^2 - y^2 = z e omega_2 : - x^2 + y^2 = z , um paraboloide de rotação e um paraboloide hiperbólico.

Resposta

A solução desta quártica é a união das superfícies omega_1 : - x^2 - y^2 = z e omega_2 : - x^2 + y^2 = z , um paraboloide de rotação e um paraboloide hiperbólico.

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