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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 34

Seja Ω a quádrica de equação y 2 - 4 z 2 + x - 2 y + 16 z - 15 = 0 .

  1. Faça uma translação do sistema de coordenadas para eliminar os termos de primeiro grau e identifique a quádrica.
  2. Obtenha, em relação ao sistema antigo, equações dos planos paralelos aos planos coordenados que interceptam Ω em hipérboles de distância focal 5.
  3. Faça um esboço da quádrica e desenhe, em vista frontal, suas projeções ortogonais sobre os planos O x y , O x z e O y z .

Passo 1

Então, como temos uma equação do segundo grau a três incógnitas com termos lineares e sem termos mistos, podemos fazer uma translação para eliminar estes termos lineares.

Este é o nosso objetivo. Eliminar estes termos lineares para poder identificar a nossa quádrica. Então, temos que fatorar a equação. Portanto,

y 2 - 4 z 2 + x - 2 y + 16 z - 15 = 0

y 2 - 2 y + - 4 z 2 + 16 z + x - 15 = 0

y 2 - 2 y + 1 - 1 - 4 z 2 - 4 z + x - 15 = 0

y - 1 2 - 4 z 2 - 4 z + 4 + 16 + x - 1 6 = 0

y - 1 2 - 4 z - 2 2 = - x

x = - y - 1 2 + 4 z - 2 2

Então, faremos a seguinte translação:

u = x v = y - 1 w = z - 2

Vamos ter a seguinte equação:

u = - v 2 + 4 w 2

O que consiste em um paraboloide hiperbólico!

Passo 2

Agora, temos que obter, em relação ao sistema antigo, equações de hipérboles com distância focal igual a 5.

Para o paraboloide obtido, só temos hipérboles quando fazemos interseção com planos paralelos a x = u = 0 . Portanto, seja um plano x = d , temos a seguinte hipérbole:

d = - y - 1 2 + 4 z - 2 2

- y - 1 2 d + z - 2 2 d 4 = 1

Então, se a 2 = d e b 2 = d 4 , o valor de c será:

c = a 2 + b 2 = d + d 4 = 5 d 2

E a distância focal será igual a:

2 c = 5 d = 5

5 d = 25

d = 5

Mas será a única resposta x = 5 ? Não! x = - 5 também satisfaz. A única mudança é quem é o eixo transverso e conjugado.

Portanto, as soluções são x = 5 e x = - 5 .

Passo 3

O esboço das quádricas é algo um pouco mais difícil. Aqui, iremos mostrar como ela está se comportando no geral.

O importante, é sempre colocarem o vértice dela e indicar os eixos, como ela se comporta (eixo de simetria e etc). Portanto, temos o seguinte paraboloide:

Percebam que o eixo x é o eixo de simetria. Tudo a esquerda e a direita dele é exatamente igual.

Agora, vamos fazer as projeções do paraboloide com os planos O x y , O x z e O y z . Começando por O x y , temos:

Em relação a O x z , temos:

Por fim, em relação a O y z é o próprio plano. Portanto, não tem muito o que esboçarmos aqui.

Resposta

  1. A translação foi:

    2. u = x v = y - 1 w = z - 2

    E com isto obtemos o paraboloide hiperbólico Ω : u = - v 2 + 4 w 2 .

  2. x = 5 e x = - 5 .
  3. O esboço do paraboloide é:

Já a projeção nos planos O x y e O x z , são, respetivamente:

Enquanto a projeção em relação ao plano O y z é o próprio plano.

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Seja Ω : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 . Deduza uma condição sobre os números a ,b ,c para que:as intersecções de Ω com planos paralelos a O x y sejam elipses semelhantes. as intersecções de Ω
Prove que elipsoide Ω : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 é limitado. Generalize os conceitos de retângulo fundamental e coroa fundamental de uma elipse (capítulo 22 ) para o elipsoide Ω : x 2 / a
Sendo Ω : 2 x 2 - y 2 + 4 z 2 = 1 , determine os planos paralelos aos planos coordenados que interceptam Ω em uma cônica de distância focal 6 .
Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E 3 que são equidistantes de P = 1,1 , 0 e π : z + 2 = 0 , e identifique-o.
Identifique, em cada caso, a quádrica cilíndrica descrita pela equação dada e comente a posição das geratrizes em relação aos eixos coordenados.(a) y 2 a 2 + z 2 b 2 = 1 (b) z 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 (c)