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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 42b

Para cada um dos pares de vetores u → e v → , encontrar a projeção ortogonal de v → sobre u → e decompor v → como soma de v → 1 com v → 2 , sendo v → 1 | | u → e v → 2 ⊥ u → .

u → = 1,1 , 1 e v → = 3,1 , - 1

Passo 1

Vamos ver o que é uma projeção ortogonal:

Sejam os vetores u → e v → não nulos e θ o ângulo entre eles, podemos decompor um dos vetores, digamos v → , tal que:

v → = v → 1 + v → 2

Sendo v → 1 ∥ u → e v → 2 ⊥ u → .

O vetor v → 1 é chamado projeção ortogonal de v → sobre u → e indicado por:

v → 1 = p r o j u → v →

Podemos calcular a projeção ortogonal de v → sobre u → da seguinte forma:

p r o j u → v → = v → ⋅ u → u → ⋅ u → u →

Vamos então calcular a projeção primeiro.

Passo 2

Vamos calcular p r o j u → v → usando:

p r o j u → v → = v → ⋅ u → u → ⋅ u → u →

Aqui vamos calcular os produtos escalares separadamente:

v → ⋅ u → = 3,1 , - 1 ⋅ 1,1 , 1 = 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + - 1 ⋅ 1 = 3 + 1 - 1 = 3

u → ⋅ u → = 1,1 , 1 ⋅ 1,1 , 1 = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = 1 + 1 + 1 = 3

Agora é só substituir:

p r o j u → v → = v → ⋅ u → u → ⋅ u → u → = 3 3 1,1 , 1 = 1 1,1 , 1 = 1,1 , 1 = v → 1

Pronto, achamos v → 1 .

Passo 3

Para achar v → 2 é simples, é só usar a expressão:

v → = v → 1 + v → 2

Vamos substituir os vetores:

v → = v → 1 + v → 2 → v → 2 = v → - v → 1 → v → 2 = 3,1 , - 1 - 1,1 , 1 →

→ v → 2 = 3 - 1,1 - 1 , - 1 - 1 → v → 2 = 2,0 , - 2

Pronto, achamos a decomposição de v → em v → 1 e v → 2 .

Resposta

v → 1 = 1,1 , 1 e v → 2 = 2,0 , - 2

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