Sejam A 2,1 , 3 , B m , 3,5 e C 0,4 , 1 vértices de um triângulo (Figura 2.18 ) responda:

Para qual valor de m o triângulo A B C é retângulo em A ?

Passo 1

Se o triângulo A B C é retângulo em A temos que o ângulo entre os vetores A B → e A C → é de 90 ° , e de acordo com a fórmula abaixo o produto escalar entre os vetores A B → e A C → deve ser igual a zero, pois o cosseno de 90 ° é igual a zero:

A B → ⋅ A C → = A B → A C → cos ⁡ 90 ° = A B → A C → ⋅ 0 = 0

Vamos então resolver esse produto escalar para encontrar o valor de m .

Passo 2

Antes de calcular o produto escalar vamos primeiro achar os vetores A B → e A C → :

A B → = B - A = m , 3,5 - 2,1 , 3 = m - 2,3 - 1,5 - 3 = m - 2,2 , 2

A C → = C - A = 0,4 , 1 - 2,1 , 3 = 0 - 2,4 - 1,1 - 3 = - 2,3 , - 2

Agora sim vamos calcular o produto escalar:

A B → ⋅ A C → = 0 → m - 2,2 , 2 ⋅ - 2,3 , - 2 = 0 → m - 2 ⋅ - 2 + 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ - 2 = 0 →

→ - 2 m + 4 + 6 - 4 = 0 → 2 m = 6 → m = 3

Pronto, temos que o valor de m é 3 para o triângulo A B C ser retângulo em A .

Resposta

m = 3

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