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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 50c

Para cada um dos pares de vetores u → e v → , encontrar o vetor projeção ortogonal de v → sobre u → e decompor v → como soma de v 1 → com v 2 → , sendo v 1 → | | u → e v 2 → ⊥ u →

C) u → = ( 4,3 ) e v → = ( 1,2 )

Passo 1

A questão pede várias coisas pra gente, vamos começar pela primeira, a projeção ortogonal de v → sobre u → , lembrando que a fórmula da projeção de um vetor sobre outro é desse jeitinho aqui:

p r o j u → v → = v → ⋅ u → u → ⋅ u → u →

Vamos começar resolvendo isso então, sendo que o produto escalar é feito desse jeito:

a → ⋅ b → = x a → * x b → + y a → * y b →

p r o j u → v → = 1 * 4 + 2 * 3 4 * 4 + 3 * 3 u →

p r o j u → v → = 2 5 * ( 4 , 3 )

p r o j u → v → = 8 5 , 6 5

Passo 2

Podemos decompor um vetor v → = v → 1 + v → 2 , sendo v → 1 | | u → e v → 2 ⊥ u → .

Mas quem são esses v → 1 e v → 2 ???

Bom o v → 1 nós acabamos de achar, a projeção de v → em u → é exatamente o vetor v → paralelo a u → , sendo assim o nosso v 1 → , então temos:

v → 1 = 8 5 , 6 5

E também sabemos que

v → = ( 1,2 )

Passo 3

Agora que sabemos v → e v 1 → , podemos achar v 2 → fazendo

v → = v 1 → + v 2 →

v 2 → = v → - v 1 →

v 2 → = ( 1,2 ) 8 5 , 6 5

v 2 → = - 3 5 , 4 5

Então ficamos com:

v → = 8 5 , 6 5 + - 3 5 , 4 5

Resposta

p r o j u → v → = 8 5 , 6 5

v → = 8 5 , 6 5 + - 3 5 , 4 5

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